উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২২

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

A=[x−112−2x+1320x] A = \begin{bmatrix} x - 1 & 1 & 2 \ -2 & x + 1 & 3 \ 2 & 0 & x \end{bmatrix} এবং B=[52−10−4] B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \ -10 & -4 \end{bmatrix}

  1. ক)

    দেখাও যে, B একটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স।

    (1)
  2. খ)

    ∣A∣=0 |A| = 0 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    (AT)−1 (A^T)^{-1} নির্ণয় কর যখন, x=0 x = 0 হয়।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স BB সমঘাতী (idempotent) হবে যদি B2=BB^2 = B হয়।

    দেওয়া আছে, B=[52−10−4]B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \end{bmatrix}

    এখন,
    B2=B⋅B=[52−10−4][52−10−4]B^2 = B \cdot B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \end{bmatrix}
    =[(5)(5)+(2)(−10)(5)(2)+(2)(−4)(−10)(5)+(−4)(−10)(−10)(2)+(−4)(−4)]= \begin{bmatrix} (5)(5) + (2)(-10) & (5)(2) + (2)(-4) \\ (-10)(5) + (-4)(-10) & (-10)(2) + (-4)(-4) \end{bmatrix}
    =[25−2010−8−50+40−20+16]= \begin{bmatrix} 25 - 20 & 10 - 8 \\ -50 + 40 & -20 + 16 \end{bmatrix}
    =[52−10−4]=B= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \end{bmatrix} = B

    যেহেতু B2=BB^2 = B, সুতরাং BB একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    A=[x−112−2x+1320x]A = \begin{bmatrix} x - 1 & 1 & 2 \\ -2 & x + 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{bmatrix}

    শর্তানুসারে, ∣A∣=0|A| = 0
    ⇒∣x−112−2x+1320x∣=0\Rightarrow \begin{vmatrix} x - 1 & 1 & 2 \\ -2 & x + 1 & 3 \\ 2 & 0 & x \end{vmatrix} = 0

    তৃতীয় সারি বরাবর বিস্তার করে পাই:
    2⋅∣12x+13∣−0+x⋅∣x−11−2x+1∣=02 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ x + 1 & 3 \end{vmatrix} - 0 + x \cdot \begin{vmatrix} x - 1 & 1 \\ -2 & x + 1 \end{vmatrix} = 0
    ⇒2[3−2(x+1)]+x[(x−1)(x+1)−(−2)(1)]=0\Rightarrow 2 [3 - 2(x + 1)] + x [(x - 1)(x + 1) - (-2)(1)] = 0
    ⇒2[3−2x−2]+x[x2−1+2]=0\Rightarrow 2 [3 - 2x - 2] + x [x^2 - 1 + 2] = 0
    ⇒2[1−2x]+x[x2+1]=0\Rightarrow 2 [1 - 2x] + x [x^2 + 1] = 0
    ⇒2−4x+x3+x=0\Rightarrow 2 - 4x + x^3 + x = 0
    ⇒x3−3x+2=0\Rightarrow x^3 - 3x + 2 = 0

    এখানে x=1x = 1 বসালে 1−3+2=01 - 3 + 2 = 0 হয়, সুতরাং (x−1)(x - 1) একটি উৎপাদক।
    ⇒x2(x−1)+x(x−1)−2(x−1)=0\Rightarrow x^2(x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1) = 0
    ⇒(x−1)(x2+x−2)=0\Rightarrow (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0
    ⇒(x−1)(x2+2x−x−2)=0\Rightarrow (x - 1)(x^2 + 2x - x - 2) = 0
    ⇒(x−1)(x+2)(x−1)=0\Rightarrow (x - 1)(x + 2)(x - 1) = 0
    ⇒(x−1)2(x+2)=0\Rightarrow (x - 1)^2 (x + 2) = 0

    অতএব, x=1,1,−2x = 1, 1, -2 বা x=1,−2x = 1, -2।

    নির্ণেয় মান: x=1x = 1 অথবা x=−2x = -2।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যখন x=0x = 0, তখন
    A=[−112−213200]A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    AT=[−1−22110230]A^T = \begin{bmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}

    এখন, ∣AT∣=∣−1−22110230∣|A^T| = \begin{vmatrix} -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix}
    তৃতীয় কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই:
    ∣AT∣=2(3−2)=2(1)=2≠0|A^T| = 2(3 - 2) = 2(1) = 2 \neq 0
    যেহেতু ∣AT∣≠0|A^T| \neq 0, তাই (AT)−1(A^T)^{-1} বিদ্যমান।

    ATA^T-এর উপাদানসমূহের সহগুণক:
    C11=+∣1030∣=0C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0
    C12=−∣1020∣=0C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0
    C13=+∣1123∣=3−2=1C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1
    C21=−∣−2230∣=−(0−6)=6C_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 6) = 6
    C22=+∣−1220∣=0−4=−4C_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 4 = -4
    C23=−∣−1−223∣=−(−3+4)=−1C_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(-3 + 4) = -1
    C31=+∣−2210∣=0−2=−2C_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2
    C32=−∣−1210∣=−(0−2)=2C_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2
    C33=+∣−1−211∣=−1−(−2)=1C_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - (-2) = 1

    অতএব, adj⁡(AT)=[C11C21C31C12C22C32C13C23C33]=[06−20−421−11]\operatorname{adj}(A^T) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

    সুতরাং,
    (AT)−1=1∣AT∣adj⁡(AT)=12[06−20−421−11]=[03−10−2112−1212](A^T)^{-1} = \frac{1}{|A^T|} \operatorname{adj}(A^T) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 0 & 6 & -2 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন