উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, এককের কাল্পনিক বা জটিল ঘনমূলদ্বয় হলো:\n$\omega = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ এবং $\omega^2 = \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$\nঅতএব, $-1+\sqrt{-3} = 2\omega$ এবং $-1-\sqrt{-3} = 2\omega^2$\n\nপ্রদত্ত রাশি:\n$(-1+\sqrt{-3})^{7} + (-1-\sqrt{-3})^{7}$\n$= (2\omega)^{7} + (2\omega^2)^{7}$\n$= 2^7 \cdot \omega^7 + 2^7 \cdot \omega^{14}$\n$= 128 (\omega^7 + \omega^{14})$\n\nআমরা জানি, $\omega^3 = 1$ এবং $1 + \omega + \omega^2 = 0$\nএখানে,\n$\omega^7 = (\omega^3)^2 \cdot \omega = 1^2 \cdot \omega = \omega$\n$\omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$\n\nসুতরাং,\n$128 (\omega + \omega^2) = 128 \times (-1) = -128$\n\nউত্তর: $-128$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প ১ হতে,\n$z = 2 + 4i - i^2$\nযেহেতু $i^2 = -1$,\n$z = 2 + 4i - (-1) = 3 + 4i$\n\n$z$ এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $\bar{z} = 3 - 4i$\n\nধরি, $\bar{z}$ এর বর্গমূল $w = \pm (x + iy)$\nতাহলে, $w^2 = \bar{z}$\n\nউভয়পক্ষে মডুলাস নিয়ে পাই,\n$|w^2| = |\bar{z}|$\n$\Rightarrow |w|^2 = |\bar{z}|$\n$\Rightarrow |w| = \sqrt{|\bar{z}|}$\n\nএখন, $|\bar{z}| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$\n\nঅতএব, $\bar{z}$ এর বর্গমূলের মডুলাস,\n$|w| = \sqrt{5}$\n\nসুতরাং, দৃশ্যকল্প-১ এ $\bar{z}$ এর বর্গমূলের মডুলাস সর্বদা $\sqrt{5}$—উক্তিটি সঠিক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প ২-এ প্রদত্ত সমীকরণ:\n$p x^2 + q x + r = 0$\nযেহেতু সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$,\nমূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই,\n$\alpha + \beta = -\frac{q}{p}$\n$\alpha \beta = \frac{r}{p}$\n\nযে সমীকরণের মূলদ্বয় $\frac{2}{\alpha}$ এবং $\frac{2}{\beta}$, তার ক্ষেত্রে:\nমূলদ্বয়ের যোগফল $= \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\right) = 2 \cdot \frac{-\frac{q}{p}}{\frac{r}{p}} = -\frac{2q}{r}$\n\nমূলদ্বয়ের গুণফল $= \frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{\frac{r}{p}} = \frac{4p}{r}$\n\nঅতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হবে:\n$x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$\n$\Rightarrow x^2 - \left(-\frac{2q}{r}\right)x + \frac{4p}{r} = 0$\n$\Rightarrow x^2 + \frac{2q}{r}x + \frac{4p}{r} = 0$\n\nউভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,\n$r x^2 + 2q x + 4p = 0$\n\nউত্তর: $r x^2 + 2q x + 4p = 0$