গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, প্রক্ষেপকটিকে $u$ আদিবেগে ভূমির সাথে $\alpha$ কোণে নিক্ষেপ করা হলো।
আমরা জানি, একই আদিবেগের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট পাল্লা $R$-এর জন্য দুটি নিক্ষেপ কোণ সম্ভব, যারা পরস্পর পূরক কোণ। অর্থাৎ কোণ দুটি হলো $\alpha$ এবং $(90^\circ - \alpha)$।

সুতরাং,
প্রথম ক্ষেত্রে সর্বাধিক উচ্চতা, $h = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g}$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সর্বাধিক উচ্চতা, $h' = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \alpha)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2\alpha}{2g}$

এখন,
$h \cdot h' = \frac{u^2 \sin^2\alpha}{2g} \cdot \frac{u^2 \cos^2\alpha}{2g}$
$\implies h h' = \frac{u^4 \sin^2\alpha \cos^2\alpha}{4g^2}$
$\implies h h' = \frac{(u^2 \cdot 2\sin\alpha \cos\alpha)^2}{16g^2}$
$\implies h h' = \frac{(u^2 \sin 2\alpha)^2}{16g^2}$

যেহেতু অনুভূমিক পাল্লা $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$,
অতএব, $h h' = \frac{R^2}{16}$
$\implies R^2 = 16 h h'$
$\implies R = 4\sqrt{h h'}$ (দেখানো হলো)