উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দ্বিঘাত রাশি $px^2 + 4x + 3$ পূর্ণবর্গ হবে যদি ও কেবল যদি সংশ্লিষ্ট সমীকরণ $px^2 + 4x + 3 = 0$-এর নিশ্চয়ক (Discriminant) শূন্য হয়।

   এখানে নিশ্চয়ক, $D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot p \cdot 3$
   $= 16 - 12p$

   শর্তমতে, $D = 0$
   $\implies 16 - 12p = 0$
   $\implies 12p = 16$
   $\implies p = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

   উত্তর: $p = \frac{4}{3}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের আদর্শ ত্রিঘাত সমীকরণ: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
   এখানে, $a = 3, b = -2, c = 0, d = 1$ বসালে সমীকরণটি হয়:
   $3x^3 - 2x^2 + 0\cdot x + 1 = 0 \implies 3x^3 - 2x^2 + 1 = 0$

   যেহেতু সমীকরণটির মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$:
   $\sum \alpha = \alpha + \beta + \gamma = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$
   $\sum \alpha\beta = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{0}{3} = 0$
   $\alpha\beta\gamma = -\frac{1}{3}$

   আমরা জানি,
   $\Sigma \alpha^2 \beta = \alpha^2\beta + \alpha\beta^2 + \beta^2\gamma + \beta\gamma^2 + \gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2$
   $= (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma$
   $= \left(\frac{2}{3}\right)(0) - 3\left(-\frac{1}{3}\right)$
   $= 0 + 1 = 1$

   উত্তর: $1$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $a = 1, b = -9, c = 23, d = -15$
   সুতরাং ত্রিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0$

   প্রদত্ত যে, সমীকরণটির একটি মূল $3$। অর্থাৎ $(x - 3)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
   এখন সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
   $x^3 - 3x^2 - 6x^2 + 18x + 5x - 15 = 0$
   $\implies x^2(x - 3) - 6x(x - 3) + 5(x - 3) = 0$
   $\implies (x - 3)(x^2 - 6x + 5) = 0$

   যেহেতু অপর মূলগুলো দ্বিঘাত সমীকরণ $x^2 - 6x + 5 = 0$ থেকে পাওয়া যাবে:
   $x^2 - 5x - x + 5 = 0$
   $\implies x(x - 5) - 1(x - 5) = 0$
   $\implies (x - 1)(x - 5) = 0$
   $\implies x = 1 \text{ অথবা } x = 5$

   অতএব, সমীকরণটির অপর মূলগুলো হলো $1$ এবং $5$।

   উত্তর: $1$ ও $5$