পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষায় যদি দুটি বা ততোধিক ঘটনা একসাথে ঘটা অসম্ভব হয়, অর্থাৎ তাদের কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে ($A \cap B = \emptyset$), তবে তাদেরকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা (Random Experiment) বা বার্নোলি পরীক্ষা (Bernoulli Trial)।

   কারণ, একটি মুদ্রা নিরপেক্ষভাবে নিক্ষেপ করার আগে সম্ভাব্য সকল ফলাফল (যেমন: হেড বা টেল) জানা থাকে, কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট নিক্ষেপে নিশ্চিতভাবে কোনটি আসবে তা আগে থেকে বলা যায় না। তাছাড়া, প্রতিটি নিক্ষেপে কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যায় এবং ফলাফল সম্পূর্ণ সমসম্ভাব্য বা দৈবচয়নের ওপর নির্ভরশীল। তাই মুদ্রা নিক্ষেপ একটি দৈব পরীক্ষা।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   লাল বলের সংখ্যা = ৪ টি
   কালো বলের সংখ্যা = ৬ টি
   মোট বলের সংখ্যা = ৪ + ৬ = ১০ টি

   পাত্র হতে দৈবভাবে ২টি বল চয়ন করার মোট উপায় = $^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

   উভয় বলই কালো হওয়ার অনুকূল উপায় = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

   অতএব, বল দুটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(\text{উভয় বল কালো}) = \frac{^6C_2}{^{10}C_2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$

   উত্তর: বল দুটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{3}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাত্রে মোট বলের সংখ্যা = ৪ + ৬ = ১০ টি।
   দৈবভাবে ২টি বল তোলার মোট সম্ভাব্য উপায় = $^{10}C_2 = 45$।

   বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   বল দুটি একই রঙের হতে পারে যদি উভয়ই লাল হয় অথবা উভয়ই কালো হয়।
   উভয় বল লাল হওয়ার অনুকূল উপায় = $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
   উভয় বল কালো হওয়ার অনুকূল উপায় = $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

   অতএব, দুটি বল একই রঙের হওয়ার মোট অনুকূল উপায় = $6 + 15 = 21$
   সুতরাং, বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(\text{একই রঙ}) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15} \approx 0.467$

   বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   ভিন্ন রঙের বল হওয়ার অর্থ হলো ১টি বল লাল এবং ১টি বল কালো হওয়া।
   এর অনুকূল উপায় = $^4C_1 \times ^6C_1 = 4 \times 6 = 24$

   সুতরাং, বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(\text{ভিন্ন রঙ}) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15} \approx 0.533$

   এখানে,
   $P(\text{একই রঙ}) = \frac{7}{15}$ এবং $P(\text{ভিন্ন রঙ}) = \frac{8}{15}$
   দেখা যাচ্ছে যে, $\frac{7}{15} < \frac{8}{15}$, অর্থাৎ বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা অপেক্ষা কম।

   অতএব, নাবিলের বক্তব্যটি যথার্থ ও সঠিক।