উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $\theta = \frac{m}{5^x}$
   $x \to \infty$ হলে $\theta \to 0$
   $\therefore \lim_{x \to \infty} 5^x \sin\left(\frac{m}{5^x}\right) = \lim_{\theta \to 0} \frac{m}{\theta}\sin\theta = m \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = m \cdot 1 = m$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $p = 4$ হলে, $f(x) = \tan 4x$
   $\therefore f(x+h) = \tan 4(x+h)$

   সংজ্ঞানুসারে,
   $\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\tan 4(x+h) - \tan 4x}{h}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(4x+4h - 4x)}{h \cos(4x+4h)\cos 4x}$
   $= \lim_{h \to 0} \frac{\sin 4h}{4h} \cdot \frac{4}{\cos(4x+4h)\cos 4x}$
   $= 1 \cdot \frac{4}{\cos^2 4x} = 4\sec^2 4x$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $p = 1$ হলে, $y = \sec x + \tan x$
   $\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\sec x + \tan x) = \frac{1+\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{1-\sin x} = (1-\sin x)^{-1}$

   আবার অন্তরীকরণ করে,
   $\frac{d^2y}{dx^2} = - (1-\sin x)^{-2}(-\cos x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}$
   $\implies (1-\sin x)^2 \frac{d^2y}{dx^2} - \cos x = 0$ (দেখানো হলো)