পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি সমান্তরাল ভেক্টরের একটির মান অপরটির বিপ্রতীপ (বা গুণাত্মক বিপরীত) হলে তাদেরকে বিপ্রতীপ ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   লন রোলারকে যখন ঠেলা হয়, তখন প্রযুক্ত বল ভূমির সাথে একটি কোণে নিচের দিকে ক্রিয়া করে। ফলে বলের একটি উলম্ব উপাংশ নিচের দিকে কাজ করে, যা রোলারের ওজনের সাথে যুক্ত হয়। এতে রোলারের আপাত ওজন (W + F sinθ) বৃদ্ধি পায়। এই কারণে ঠেলার সময় লন রোলারকে ভারী মনে হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$

   $\vec{B}$ বরাবর $\vec{A}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ,
   $A_B = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|}$

   এখানে,
   $\vec{A} \cdot \vec{B} = (3)(1) + (2)(2) + (1)(3) = 3 + 4 + 3 = 10$
   $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

   অতএব, লম্ব অভিক্ষেপ,
   $A_B = \frac{10}{\sqrt{14}} \approx 2.672$ একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\vec{A} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
   $\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
   $\vec{C} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

   ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত (বা সমতলীয়) হবে যদি তাদের স্কেলার ত্রৈধ গুণন শূন্য হয়, অর্থাৎ $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0$ হয়।

   এখন,
   $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$
   $= 3(4 - 6) - 2(2 - 3) + 1(2 - 2)$
   $= 3(-2) - 2(-1) + 1(0)$
   $= -6 + 2 + 0 = -4$

   যেহেতু $\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -4 \neq 0$, তাই ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত নয়।