উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত মূলটি $2 + \sqrt{-3} = 2 + i\sqrt{3}$।
   যেহেতু মূলগুলো অনুবন্ধী যুগলে থাকে, তাই অপর মূলটি হবে $2 - i\sqrt{3}$।

   মূলদ্বয়ের যোগফল $= (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$
   মূলদ্বয়ের গুণফল $= (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 7$

   $\therefore$ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
   $x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 4x + 7 = 0$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, $P(x) = ax^2 - 12x + c - 2$
   এখানে $a = 27$, সুতরাং $P(x) = 0$ সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $27x^2 - 12x + (c - 2) = 0$

   ধরি, সমীকরণের একটি মূল $\alpha$, অতএব অপর মূলটি হবে $\alpha^2$।
   মূলদ্বয়ের যোগফল:
   $\alpha + \alpha^2 = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
   $\Rightarrow 9\alpha^2 + 9\alpha - 4 = 0$
   $\Rightarrow 9\alpha^2 + 12\alpha - 3\alpha - 4 = 0$
   $\Rightarrow 3\alpha(3\alpha + 4) - 1(3\alpha + 4) = 0$
   $\Rightarrow (3\alpha - 1)(3\alpha + 4) = 0$
   $\therefore \alpha = \frac{1}{3}$ অথবা $\alpha = -\frac{4}{3}$

   আবার, মূলদ্বয়ের গুণফল:
   $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c - 2}{27}$
   $\Rightarrow c - 2 = 27\alpha^3$
   $\Rightarrow c = 27\alpha^3 + 2$

   যখন $\alpha = \frac{1}{3}$:
   $c = 27\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 2 = 27\left(\frac{1}{27}\right) + 2 = 1 + 2 = 3$

   যখন $\alpha = -\frac{4}{3}$:
   $c = 27\left(-\frac{4}{3}\right)^3 + 2 = 27\left(-\frac{64}{27}\right) + 2 = -64 + 2 = -62$

   $\therefore c$ এর মান $3$ অথবা $-62$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $8x^3 + 19x + P(x) = 0$
   যেখানে $P(x) = ax^2 - 12x + c - 2$ এবং $a = -14, c = 1$।
   $\therefore P(x) = -14x^2 - 12x + (1 - 2) = -14x^2 - 12x - 1$

   অতএব সমীকরণটি হয়:
   $8x^3 + 19x + (-14x^2 - 12x - 1) = 0$
   $\Rightarrow 8x^3 - 14x^2 + 7x - 1 = 0$

   যেহেতু সমীকরণের মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত, তাই মূল তিনটিকে ধরি $\frac{\alpha}{r}, \alpha, \alpha r$।
   মূলত্রয়ের গুণফল:
   $\frac{\alpha}{r} \cdot \alpha \cdot \alpha r = -\frac{-1}{8}$
   $\Rightarrow \alpha^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2}$

   মূলত্রয়ের যোগফল:
   $\frac{\alpha}{r} + \alpha + \alpha r = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$
   $\Rightarrow \alpha \left(\frac{1}{r} + 1 + r\right) = \frac{7}{4}$
   $\Rightarrow \frac{1}{2} \left(\frac{r^2 + r + 1}{r}\right) = \frac{7}{4}$
   $\Rightarrow \frac{r^2 + r + 1}{r} = \frac{7}{2}$
   $\Rightarrow 2r^2 + 2r + 2 = 7r$
   $\Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$
   $\Rightarrow (2r - 1)(r - 2) = 0$
   $\therefore r = 2$ অথবা $r = \frac{1}{2}$

   যখন $r = 2$:
   মূলগুলো হলো $\frac{1/2}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\times 2 \Rightarrow \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$

   যখন $r = \frac{1}{2}$:
   মূলগুলো হলো $\frac{1/2}{1/2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \Rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$

   $\therefore$ সমীকরণটির নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$।