উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ:
   $(y+3)^2 = 8(x-2)$
   সমীকরণটিকে $Y^2 = 4aX$ এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $Y = y+3$, $X = x-2$ এবং $4a = 8 \Rightarrow a = 2$

   উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ:
   $X = a$
   $\Rightarrow x - 2 = 2$
   $\Rightarrow x - 4 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ: $x - 4 = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের কণিকের সমীকরণ: $ax^2 + bx + cy + d = 0$
   $a=1, b=-8, c=-2, d=6$ বসিয়ে পাই,
   $x^2 - 8x - 2y + 6 = 0$
   $\Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 2y - 6 + 16$
   $\Rightarrow (x - 4)^2 = 2y + 10$
   $\Rightarrow (x - 4)^2 = 2(y + 5)$
   $\Rightarrow (x - 4)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2} (y + 5)$

   এটিকে $X^2 = 4AY$ এর সাথে তুলনা করি, যেখানে $X = x - 4$, $Y = y + 5$, এবং $A = \frac{1}{2}$।

   ১. শীর্ষবিন্দু:
   $X = 0 \Rightarrow x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
   $Y = 0 \Rightarrow y + 5 = 0 \Rightarrow y = -5$
   অতএব, শীর্ষবিন্দু $(4, -5)$।

   ২. উপকেন্দ্র:
   $X = 0 \Rightarrow x = 4$
   $Y = A \Rightarrow y + 5 = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} - 5 = -\frac{9}{2}$
   অতএব, উপকেন্দ্র $\left(4, -\frac{9}{2}\right)$।

   ৩. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
   $= |4A| = \left|4 \cdot \frac{1}{2}\right| = 2$ একক।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $a=0, b=3, c=4, d=-1$ হলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
   $3x + 4y - 1 = 0$
   এটি নিয়ামকরেখার সমীকরণ।
   উপকেন্দ্র $S = (1, 1)$।

   পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে, পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে:
   $SP = PM$
   $\Rightarrow SP^2 = PM^2$
   $\Rightarrow (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \left( \frac{3x + 4y - 1}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right)^2$
   $\Rightarrow (x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = \frac{(3x + 4y - 1)^2}{25}$
   $\Rightarrow 25(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2) = 9x^2 + 16y^2 + 1 + 24xy - 6x - 8y$
   $\Rightarrow 25x^2 + 25y^2 - 50x - 50y + 50 = 9x^2 + 16y^2 + 24xy - 6x - 8y + 1$
   $\Rightarrow 16x^2 - 24xy + 9y^2 - 44x - 42y + 49 = 0$
   $\Rightarrow (4x - 3y)^2 - 44x - 42y + 49 = 0$, যা নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

   অক্ষের সমীকরণ নির্ণয়:
   পরাবৃত্তের অক্ষ নিয়ামকরেখার ওপর লম্ব এবং উপকেন্দ্রগামী।
   নিয়ামক রেখা $3x + 4y - 1 = 0$ এর লম্ব রেখার সমীকরণ:
   $4x - 3y + k = 0$
   যেহেতু রেখাটি উপকেন্দ্র $(1, 1)$ দিয়ে যায়:
   $4(1) - 3(1) + k = 0 \Rightarrow 1 + k = 0 \Rightarrow k = -1$

   অতএব, অক্ষের সমীকরণ: $4x - 3y - 1 = 0$।