উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: কোনো বিন্দুতে কার্যরত Q−R,Q,Q+RQ-R, Q, Q+R মানের বলগুলোর দিক একইক্রমে কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল।
দৃশ্যকল্প-২:

  1. ক)

    মূল বিন্দুতে 5,85, 8 ও 1010 একক মানের তিনটি বল x-অক্ষের সাথে যথাক্রমে 0∘,60∘0^\circ, 60^\circ ও 120∘120^\circ কোণে ক্রিয়া করছে। OXOX বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এর বলগুলোর লব্ধি নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর সদৃশ সমান্তরাল বল P,Q,RP, Q, R এর লব্ধি যদি ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G-তে ক্রিয়া করে তবে প্রমাণ কর যে, P=Q=RP = Q = R.

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    OX বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি:
    X=5cos⁡0∘+8cos⁡60∘+10cos⁡120∘X = 5 \cos 0^\circ + 8 \cos 60^\circ + 10 \cos 120^\circ
    =5⋅1+8⋅12+10⋅(−12)= 5 \cdot 1 + 8 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
    =5+4−5=4= 5 + 4 - 5 = 4
    অতএব, OX বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি 4 একক।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেহেতু বলগুলোর দিক একইক্রমে কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুগুলোর সমান্তরাল, সেহেতু বলত্রয়ের মধ্যবর্তী কোণ দ্বয় হবে 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ।
    ধরি, Q−RQ-R বলটির দিক OXOX বরাবর এবং এর সাথে QQ বলটি 120∘120^\circ কোণে ও Q+RQ+R বলটি 240∘240^\circ কোণে একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

    OXOX বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি,
    X=(Q−R)cos⁡0∘+Qcos⁡120∘+(Q+R)cos⁡240∘X = (Q-R)\cos 0^\circ + Q\cos 120^\circ + (Q+R)\cos 240^\circ
    =(Q−R)(1)+Q(−12)+(Q+R)(−12)= (Q-R)(1) + Q\left(-\frac{1}{2}\right) + (Q+R)\left(-\frac{1}{2}\right)
    =Q−R−Q2−Q2−R2= Q - R - \frac{Q}{2} - \frac{Q}{2} - \frac{R}{2}
    =−3R2= -\frac{3R}{2}

    OXOX এর উপর লম্ব বরাবর বলগুলোর লম্বাংশের সমষ্টি,
    Y=(Q−R)sin⁡0∘+Qsin⁡120∘+(Q+R)sin⁡240∘Y = (Q-R)\sin 0^\circ + Q\sin 120^\circ + (Q+R)\sin 240^\circ
    =0+Q(32)+(Q+R)(−32)= 0 + Q\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (Q+R)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
    =32Q−32Q−32R= \frac{\sqrt{3}}{2}Q - \frac{\sqrt{3}}{2}Q - \frac{\sqrt{3}}{2}R
    =−3R2= -\frac{\sqrt{3}R}{2}

    অতএব, লব্ধি বলের মান,
    F=X2+Y2=(−3R2)2+(−3R2)2F = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{\left(-\frac{3R}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}R}{2}\right)^2}
    =9R24+3R24=12R24=3R2=R3= \sqrt{\frac{9R^2}{4} + \frac{3R^2}{4}} = \sqrt{\frac{12R^2}{4}} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}

    সুতরাং, বলগুলোর লব্ধির মান R3R\sqrt{3}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, △ABC\triangle ABC-এর শীর্ষবিন্দু A,B,CA, B, C-তে যথাক্রমে তিনটি সদৃশ সমান্তরাল বল P,Q,RP, Q, R ক্রিয়াশীল এবং তাদের লব্ধি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র GG-তে ক্রিয়া করে।

    BB ও CC বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বল QQ ও RR এর লব্ধি (Q+R)(Q+R), BCBC বাহুকে DD বিন্দুতে এমনভাবে অন্তর্বিভক্ত করে যেন:
    Q⋅BD=R⋅CDQ \cdot BD = R \cdot CD
    ⇒BDCD=RQ\Rightarrow \frac{BD}{CD} = \frac{R}{Q}

    এখন, DD বিন্দুতে ক্রিয়াশীল লব্ধি বল (Q+R)(Q+R) এবং AA বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বল PP-এর লব্ধি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র GG বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
    যেহেতু লব্ধি GG বিন্দুতে এবং GG বিন্দুটি ADAD রেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং DD অবশ্যই BCBC-এর মধ্যবিন্দু হতে হবে, কারণ শীর্ষ ও ভরকেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখাই মধ্যমা এবং তা বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

    যেহেতু D,BCD, BC এর মধ্যবিন্দু, তাই:
    BD=CDBD = CD
    ⇒BDCD=1⇒RQ=1⇒Q=R\Rightarrow \frac{BD}{CD} = 1 \Rightarrow \frac{R}{Q} = 1 \Rightarrow Q = R

    আবার, ভরকেন্দ্র GG মধ্যমা ADAD-কে 2:12:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে, অর্থাৎ:
    AGGD=21\frac{AG}{GD} = \frac{2}{1}

    যেহেতু AA ও DD বিন্দুতে ক্রিয়ারত সমান্তরাল বল PP ও (Q+R)(Q+R)-এর লব্ধি GG বিন্দুতে ক্রিয়া করে, বলের নীতি অনুযায়ী:
    P⋅AG=(Q+R)⋅GDP \cdot AG = (Q + R) \cdot GD
    ⇒PQ+R=GDAG=12\Rightarrow \frac{P}{Q + R} = \frac{GD}{AG} = \frac{1}{2}
    ⇒2P=Q+R\Rightarrow 2P = Q + R

    যেহেতু Q=RQ = R, তাই:
    2P=Q+Q=2Q⇒P=Q2P = Q + Q = 2Q \Rightarrow P = Q

    অতএব, P=Q=RP = Q = R (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন