উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $x^2 + y^2 - 4y = 0$
   আমরা জানি, কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের সম্পর্ক হলো:
   $x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta \quad \text{এবং} \quad x^2 + y^2 = r^2$
   সমীকরণে মান বসিয়ে পাই,
   $r^2 - 4(r \sin\theta) = 0$
   $\implies r(r - 4\sin\theta) = 0$
   যেহেতু $r \neq 0$,
   $\therefore r = 4\sin\theta$

   নির্ণেয় পোলার সমীকরণ: $r = 4\sin\theta$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুসারে,
   $2x + by + 4 = 0$ রেখাটি $X$-অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   $X$-অক্ষের উপর $y = 0$ বসিয়ে পাই,
   $2x + b(0) + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$
   $\therefore A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2, 0)$।

   আবার, $ax + 3y + 6 = 0$ রেখাটি $Y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   $Y$-অক্ষের উপর $x = 0$ বসিয়ে পাই,
   $a(0) + 3y + 6 = 0 \implies 3y = -6 \implies y = -2$
   $\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, -2)$।

   এখন, $A(-2, 0)$ এবং $B(0, -2)$ বিন্দুগামী $AB$ রেখার সমীকরণ:
   $\frac{x - (-2)}{-2 - 0} = \frac{y - 0}{0 - (-2)}$
   $\implies \frac{x + 2}{-2} = \frac{y}{2}$
   $\implies -(x + 2) = y$
   $\implies x + y + 2 = 0$

   নির্ণেয় $AB$ রেখার সমীকরণ: $x + y + 2 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ:
   $3x + 4y - 24 = 0$
   $\implies 3x + 4y = 24$
   $\implies \frac{3x}{24} + \frac{4y}{24} = 1$
   $\implies \frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$
   অতএব, রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে $C(8, 0)$ এবং $D(0, 6)$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   ধরি, $C(8, 0)$ ও $D(0, 6)$ এর মধ্যবর্তী খণ্ডিত অংশ $CD$-কে সমত্রিখণ্ডিত করে এমন বিন্দুদ্বয় $P$ ও $Q$, যেখানে $P$ বিন্দু $CD$-কে $1:2$ অনুপাতে এবং $Q$ বিন্দু $CD$-কে $2:1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

   $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $P = \left(\frac{1\cdot 0 + 2\cdot 8}{1 + 2}, \frac{1\cdot 6 + 2\cdot 0}{1 + 2}\right) = \left(\frac{16}{3}, \frac{6}{3}\right) = \left(\frac{16}{3}, 2\right)$

   $Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক:
   $Q = \left(\frac{2\cdot 0 + 1\cdot 8}{1 + 2}, \frac{2\cdot 6 + 1\cdot 0}{1 + 2}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{12}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, 4\right)$

   এখন, মূলবিন্দু $O(0, 0)$ এবং $P\left(\frac{16}{3}, 2\right)$ এর সংযোজক রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{2 - 0}{\frac{16}{3} - 0} \implies \frac{y}{x} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
   $\implies 3x - 8y = 0$

   এবং মূলবিন্দু $O(0, 0)$ ও $Q\left(\frac{8}{3}, 4\right)$ এর সংযোজক রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{4 - 0}{\frac{8}{3} - 0} \implies \frac{y}{x} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
   $\implies 3x - 2y = 0$

   নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $3x - 8y = 0$ এবং $3x - 2y = 0$।