উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত পোলার সমীকরণ:
   $r - 2\cos\theta + 4\sin\theta = 0$
   উভয়পক্ষকে $r$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $r^2 - 2r\cos\theta + 4r\sin\theta = 0$
   আমরা জানি, $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ এবং $x^2 + y^2 = r^2$।
   অতএব, কার্তেসীয় সমীকরণটি হলো:
   $x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0$
   বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$-এর সাথে তুলনা করে পাই,
   $2g = -2 \implies g = -1$
   $2f = 4 \implies f = 2$
   সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g, -f) = (1, -2)$।
   (পোলার স্থানাঙ্কে কেন্দ্র: $(r, \theta) = (\sqrt{5}, -\tan^{-1}(2))$ বা $(\sqrt{5}, 2\pi - \tan^{-1}(2))$)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে, $A(-8, 0)$ এবং $B(0, 6)$।
   $AB = \sqrt{(-8 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ একক।

   ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ... (১)

   বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে $B(0, 6)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।
   যেহেতু বৃত্তটি $Y$-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাই $f^2 = c$।
   আবার, স্পর্শবিন্দু $(0, 6)$ বৃত্তের ওপর অবস্থিত:
   $0^2 + 6^2 + 2g(0) + 2f(6) + c = 0$
   $\implies 36 + 12f + c = 0$
   $c = f^2$ বসিয়ে পাই,
   $f^2 + 12f + 36 = 0$
   $\implies (f + 6)^2 = 0$
   $\implies f = -6$
   অতএব, $c = (-6)^2 = 36$

   বৃত্তটি $X$-অক্ষ হতে $AB = 10$ একক দৈর্ঘ্যের জ্যা ছেদ করে।
   আমরা জানি, $X$-অক্ষ হতে কর্তিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য $= 2\sqrt{g^2 - c}$
   $\therefore 2\sqrt{g^2 - 36} = 10$
   $\implies \sqrt{g^2 - 36} = 5$
   $\implies g^2 - 36 = 25$
   $\implies g^2 = 61$
   $\implies g = \pm\sqrt{61}$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 \pm 2\sqrt{61}x - 12y + 36 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে, মূলবিন্দু $O(0, 0)$, $A(-8, 0)$ এবং $B(0, 6)$ দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ $\triangle OAB$-এর অন্তর্বৃত্তটি হলো উদ্দীপকের বৃত্ত।

   এখানে,
   $OA = |-8| = 8$
   $OB = 6$
   $AB = \sqrt{(-8 - 0)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$

   যেহেতু $\angle AOB = 90^\circ$, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
   ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, $\Delta = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ বর্গ একক।
   ত্রিভুজটির পরিসীমা, $2s = 8 + 6 + 10 = 24$
   $\implies s = 12$

   সুতরাং, অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{24}{12} = 2$ একক।

   যেহেতু বৃত্তটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে উভয় অক্ষকে স্পর্শ করে (কারণ অন্তর্বৃত্ত উভয় অক্ষ এবং অতিভুজকে স্পর্শ করে):
   বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে $(-r, r) = (-2, 2)$।

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$
   $\implies (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$
   $\implies x^2 + 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4$
   $\implies x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$