উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি,
   $\tan(22^\circ + 23^\circ) = \tan 45^\circ$
   $\implies \frac{\tan 22^\circ + \tan 23^\circ}{1 - \tan 22^\circ \tan 23^\circ} = 1$
   $\implies \tan 22^\circ + \tan 23^\circ = 1 - \tan 22^\circ \tan 23^\circ$ (দেখানো হলো)

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $\sin P + \cos P = \sin Q + \cos Q$
   $\implies \sin P - \sin Q = \cos Q - \cos P$
   $\implies 2 \cos\left(\frac{P+Q}{2}\right) \sin\left(\frac{P-Q}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right) \sin\left(\frac{P-Q}{2}\right)$
   $\implies 2 \sin\left(\frac{P-Q}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{P+Q}{2}\right) - \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right)\right] = 0$

   হয়, $\sin\left(\frac{P-Q}{2}\right) = 0 \implies P = Q$ (ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু)
   অথবা, $\cos\left(\frac{P+Q}{2}\right) = \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right) \implies \tan\left(\frac{P+Q}{2}\right) = 1 = \tan 45^\circ$
   $\implies P + Q = 90^\circ \implies R = 90^\circ$ (ত্রিভুজটি সমকোণী)

   অতএব, ত্রিভুজটি সমকোণী অথবা সমদ্বিবাহু। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $PQ=10, QR=6, RP=8$।
   যেহেতু $6^2 + 8^2 = 10^2$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী এবং এর অতিভুজ $PQ = 10$।

   অর্ধ-পরিসীমা, $s = \frac{10+6+8}{2} = 12$
   ক্ষেত্রফল, $\Delta = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$

   অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r_1 = \frac{\Delta}{s} = \frac{24}{12} = 2$
   পরিবৃত্তের (বহির্বৃত্তের) ব্যাসার্ধ, $r_2 = \frac{pqr}{4\Delta} = \frac{6 \times 8 \times 10}{4 \times 24} = 5$

   অতএব, $r_1 : r_2 = 2 : 5$ (দেখানো হলো)