f(x)=tan⁡x f(x)=tan x | প্রশ্ন | উৎসাহ

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২১

f(x)=tan⁡x \mathbf{f}(\mathbf{x})=\tan x

ক)
y=sin⁡{2tan⁡−1(1−x1+x)} y=\sin \left{2 \tan ^{-1} \sqrt{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}\right} হলে dydx \frac{d y}{d x} নির্ণয় কর।
(2)
খ)
মূল নিয়মে x এর সাপেক্ষে f(3x) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
(4)
গ)
y=f(x)+f′(x) \mathrm{y}=f(\mathrm{x})+\sqrt{f^{\prime}(\mathrm{x})} হলে প্রমাণ কর যে, (1−sin⁡x)y2−y=0 (1-\sin x) y_{2}-y=0
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $x = \cos\theta$ ।
তাহলে, $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \tan\frac{\theta}{2}$
সুতরাং, $y = \sin\left(2 \cdot \frac{\theta}{2}\right) = \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$
$\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, $g(x) = f(3x) = \tan 3x$
মূল নিয়মানুসারে,
$\frac{d}{dx}\{f(3x)\} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan(3x+3h)-\tan 3x}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x+3h-3x)}{h\cos(3x+3h)\cos 3x} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin 3h}{h} \cdot \frac{1}{\cos(3x+3h)\cos 3x}$
$= 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\cos^2 3x} = 3\sec^2 3x$
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $y = \tan x + \sqrt{\sec^2 x} = \sec x + \tan x = \frac{1+\sin x}{\cos x}$
$y_1 = \sec x(\sec x + \tan x) = y\sec x$
$y_2 = y_1\sec x + y\sec x\tan x = y\sec^2 x + y\sec x\tan x = y\sec x(\sec x + \tan x) = y^2\sec x$
এখন, $(1-\sin x)y_2 = (1-\sin x)y^2\sec x = y^2 \cdot \frac{1-\sin x}{\cos x} = y^2 \cdot \frac{1-\sin^2 x}{\cos x(1+\sin x)} = y^2 \cdot \frac{\cos x}{1+\sin x} = y^2 \cdot \frac{1}{y} = y$
$\therefore (1-\sin x)y_2 - y = 0$ (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন