গণিত প্রশ্ন

AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

স্পষ্ট অনুমান: প্রশ্নটিতে প্লেইন টেক্সট ও LaTeX সমীকরণের পুনরাবৃত্তি ছিল; মূল ফাংশনটি $y = \frac{\ln x}{x}$ এবং প্রমাণযোগ্য সমীকরণটি $y_2 = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$।

দেওয়া আছে,
$y = \frac{\ln x}{x}$

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_1 = \frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right)$
$y_1 = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) - \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2}$
$y_1 = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \ln x \cdot 1}{x^2}$
$y_1 = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

পুনরায় $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_2 = \frac{d}{dx}\left(\frac{1 - \ln x}{x^2}\right)$
$y_2 = \frac{x^2 \cdot \frac{d}{dx}(1 - \ln x) - (1 - \ln x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}$
$y_2 = \frac{x^2 \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) - (1 - \ln x) \cdot 2x}{x^4}$
$y_2 = \frac{-x - 2x + 2x\ln x}{x^4}$
$y_2 = \frac{2x\ln x - 3x}{x^4}$
$y_2 = \frac{x(2\ln x - 3)}{x^4}$
$y_2 = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$

$\therefore y_2 = \frac{2\ln x - 3}{x^3}$ (প্রমাণিত)।