উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, কণাটির আদিবেগ $u$ এবং সমত্বরণ $f$।
   আমরা জানি, $t$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_t = u + \frac{1}{2}f(2t - 1)$

   প্রশ্নমতে,
   $x = u + \frac{1}{2}f(2t - 1)$ ........ (i)

   এবং $(t + n)$-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $y = u + \frac{1}{2}f[2(t + n) - 1]$
   $\Rightarrow y = u + \frac{1}{2}f(2t + 2n - 1)$
   $\Rightarrow y = u + \frac{1}{2}f(2t - 1) + \frac{1}{2}f(2n)$ ........ (ii)

   সমীকরণ (ii) থেকে সমীকরণ (i) বিয়োগ করে পাই,
   $y - x = \frac{1}{2}f(2n) = fn$
   $\therefore f = \frac{y - x}{n}$ (প্রমাণিত)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে,
   আদিবেগ, $u = 85.5\text{ m/s}$
   নিক্ষেপ কোণ, $\alpha = 35^\circ$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   আমরা জানি, সর্বাধিক উচ্চতা,
   $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
   $\Rightarrow H = \frac{(85.5)^2 \cdot \sin^2(35^\circ)}{2 \times 9.8}$
   $\Rightarrow H = \frac{7310.25 \times (0.573576)^2}{19.6}$
   $\Rightarrow H = \frac{7310.25 \times 0.32899}{19.6} \approx 122.70\text{ m}$

   অতএব, বলটির সর্বাধিক উচ্চতা প্রায় $122.70\text{ m}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বলটি বাউন্ডারী লাইনের উপর পড়লে ক্রিকেটার হতে বাউন্ডারী লাইনের দূরত্ব হবে বলটির অনুভূমিক পাল্লা ($R$)।

   এখানে,
   আদিবেগ, $u = 85.5\text{ m/s}$
   নিক্ষেপ কোণ, $\alpha = 35^\circ$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   আমরা জানি, অনুভূমিক পাল্লা,
   $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$
   $\Rightarrow R = \frac{(85.5)^2 \cdot \sin(2 \times 35^\circ)}{9.8}$
   $\Rightarrow R = \frac{7310.25 \cdot \sin(70^\circ)}{9.8}$
   $\Rightarrow R = \frac{7310.25 \times 0.93969}{9.8}$
   $\Rightarrow R \approx \frac{6869.385}{9.8} \approx 700.96\text{ m}$

   অতএব, ক্রিকেটার হতে বাউন্ডারী লাইনের দূরত্ব প্রায় $700.96\text{ m}$।