f(x)=2x3−9ax2+12a2x+1, (a0)f\left(x\right)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1,\ (a0) এর x = p ও x = q বিন্দুতে যথাক্রমে স্থানীয় গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মান আছে। p2=qp^2=q হলে a এর মান কত?

Question

f(x)=2x3−9ax2+12a2x+1, (a>0)f\left(x\right)=2x^3-9ax^2+12a^2x+1,\ (a>0) এর x = p ও x = q বিন্দুতে যথাক্রমে স্থানীয় গরিষ্ঠ ও লঘিষ্ঠ মান আছে। p2=qp^2=q হলে a এর মান কত?

Accepted Answer

ঘ. 2

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত ফাংশন, $f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$ ($a > 0$)
$f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2 = 6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 6(x - a)(x - 2a)$
চরম মানের জন্য, $f'(x) = 0 \implies x = a$ অথবা $x = 2a$।

দ্বিতীয় অন্তরক, $f''(x) = 12x - 18a$
$x = a$ বিন্দুতে, $f''(a) = 12a - 18a = -6a < 0$ (যেহেতু $a > 0$); সুতরাং $x = a$ বিন্দুতে স্থানীয় গরিষ্ঠ মান বিদ্যমান। অতএব, $p = a$।
$x = 2a$ বিন্দুতে, $f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a > 0$; সুতরাং $x = 2a$ বিন্দুতে স্থানীয় লঘিষ্ঠ মান বিদ্যমান। অতএব, $q = 2a$।

শর্তমতে, $p^2 = q$
$\implies a^2 = 2a$
যেহেতু $a > 0$, সুতরাং $a = 2$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন