উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২৩
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
উদ্দীপক : দ্বিঘাত সমীকরণ : ax2+bx+b=0;[a≠0]a x^{2}+b x+b=0 ;[a \neq 0]
- ক)(2)
2x2+2(p+q)x+(p2+q2)=02 x^{2}+2(p+q) x+\left(p^{2}+q^{2}\right)=0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তুব ও সমান হলে, প্রমাণ কর যে, P=q\mathrm{P}=\mathrm{q}
- খ)(4)
উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের অনুপাত m:3nm: 3 n হলে, প্রমাণ কর যে, mn+3nm+3ba=0\sqrt{\frac{m}{n}}+3 \sqrt{\frac{n}{m}}+\sqrt{\frac{3 b}{a}}=0
- গ)(4)
a=1, b=−4\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-4 এবং উদ্দীপকের সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে (α+β)(\alpha+\beta) ও (α−β)(\alpha-\beta) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় কর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
প্রদত্ত সমীকরণ: 2x² + 2(p + q)x + (p² + q²) = 0
যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান, তাই এর নিশ্চয়ক (D) = 0 হবে।সুতরাং,
D = [2(p + q)]² - 4 · 2 · (p² + q²) = 0
বা, 4(p² + 2pq + q²) - 8(p² + q²) = 0
উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে পাই,
p² + 2pq + q² - 2p² - 2q² = 0
বা, -p² + 2pq - q² = 0
বা, -(p² - 2pq + q²) = 0
বা, (p - q)² = 0
বা, p - q = 0
∴ p = q (প্রমাণিত)। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
উদ্দীপকের সমীকরণ: ax² + bx + b = 0
ধরি, সমীকরণটির মূলদ্বয় α এবং β।
প্রশ্নমতে, α : β = m : 3n ⇒ α/β = m / (3n)সমীকরণটি থেকে পাই,
α + β = -b/a
αβ = b/aএখন,
বামপক্ষ = √(m/n) + 3√(n/m) + √(3b/a)
= √3 · √(m / 3n) + √3 · √(3n / m) + √(3b/a)
= √3 [ √(α/β) + √(β/α) ] + √(3b/a)
= √3 [ (α + β) / √(αβ) ] + √(3b/a)
= √3 [ (-b/a) / √(b/a) ] + √(3b/a)
= √3 [ -√(b/a) ] + √(3b/a)
= -√(3b/a) + √(3b/a)
= 0 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
a = 1 এবং b = -4 হলে উদ্দীপকের সমীকরণটি হয়:
x² - 4x - 4 = 0
যেহেতু সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β, সুতরাং:
α + β = -(-4)/1 = 4
αβ = -4/1 = -4এখন,
(α - β)² = (α + β)² - 4αβ
= (4)² - 4(-4)
= 16 + 16 = 32
∴ α - β = ±√32 = ±4√2নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় হলো (α + β) এবং (α - β)।
মূলদ্বয়ের যোগফল = (α + β) + (α - β) = 4 ± 4√2
মূলদ্বয়ের গুণফল = (α + β)(α - β) = 4(±4√2) = ±16√2অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + (মূলদ্বয়ের গুণফল) = 0
বা, x² - (4 ± 4√2)x ± 16√2 = 0
বা, x² - 4x ∓ 4√2(x - 4) = 0।
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও