"K" কোণের মানের জন্য lim⁡x→02ex−2e−4x+kxx2 \lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-2 \mathrm{e}^{-4 \mathrm{x}}+\mathrm{kx}}{\mathrm{x}^{2}} এর মান -15 হবে?

Question

"K" কোণের মানের জন্য  lim⁡x→02ex−2e−4x+kxx2 \lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-2 \mathrm{e}^{-4 \mathrm{x}}+\mathrm{kx}}{\mathrm{x}^{2}} এর মান -15 হবে?

Accepted Answer

ঘ. -10

ব্যাখ্যা: সীমাটি হলো:
lim_{x→0} (2e^x - 2e^{-4x} + kx) / x² = -15
x → 0 হলে হর x² → 0। সুতরাং সীমা বিদ্যমান থাকার জন্য লবের মানও 0 হতে হবে।
লবের অন্তরক (1st derivative) = 2e^x + 8e^{-4x} + k।
x = 0 বিন্দুতে লবের মান 0 হতে হবে, অর্থাৎ:
2e^0 + 8e^0 + k = 0 ⇒ 2 + 8 + k = 0 ⇒ k = -10।
k = -10 হলে L'Hôpital-এর নিয়ম দ্বিতীয়বার প্রয়োগ করে পাওয়া যায়:
lim_{x→0} (2e^x - 32e^{-4x}) / 2 = (2 - 32) / 2 = -15, যা প্রদত্ত মানের সাথে মিলে যায়।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন