গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখাসমূহ:
$y = 4x^2 \implies x = \pm \frac{1}{2}\sqrt{y}$
$x^2 = 9y \implies x = \pm 3\sqrt{y}$
এবং সরলরেখা $y = 4$।

বক্ররেখা দুটি ও আবদ্ধ অঞ্চলটি $y$-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
প্রথম চতুর্ভাগে, $y = 0$ থেকে $y = 4$ পর্যন্ত সীমার জন্য:
$x_1 = \frac{1}{2}\sqrt{y}$ এবং $x_2 = 3\sqrt{y}$

সুতরাং, নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের মোট ক্ষেত্রফল, $A$:
$A = 2 \int_0^4 (x_2 - x_1) dy$
$= 2 \int_0^4 \left(3\sqrt{y} - \frac{1}{2}\sqrt{y}\right) dy$
$= 2 \int_0^4 \frac{5}{2}\sqrt{y} \, dy$
$= 5 \int_0^4 y^{1/2} \, dy$
$= 5 \left[ \frac{y^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right]_0^4$
$= 5 \times \frac{2}{3} \left[ 4^{3/2} - 0 \right]$
$= \frac{10}{3} \times 8 = \frac{80}{3} \text{ বর্গ একক}$

উত্তর: $\frac{80}{3}$ বর্গ একক (বা $26\frac{2}{3}$ বর্গ একক)।