গণিত • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৬

গণিত প্রশ্ন

a=cot⁡A a = \cot A ও b=cos⁡A b = \cos A .

  1. ক)

    tan⁡θ=3 \tan \theta = \sqrt{3} হলে, দেখাও যে sin⁡2θ=cos⁡2(θ2) \sin^2 \theta = \cos^2(\frac{\theta}{2}) .

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, a2−b2=ab \sqrt{a^2 - b^2} = ab .

    (2)
  3. গ)

    ab=12 ab = \frac{1}{\sqrt{2}} হলে A A এর মান নির্ণয় করো, যখন A A সূক্ষ্মকোণ।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    tan⁡θ=3=tan⁡60∘\tan\theta=\sqrt3=\tan60^\circ বা, θ=60∘\theta=60^\circ। sin⁡2θ=sin⁡260∘=(32)2=34\sin^2\theta=\sin^260^\circ=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac34 এবং cos⁡2θ2=cos⁡230∘=(32)2=34\cos^2\frac\theta2=\cos^230^\circ=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac34। ∴sin⁡2θ=cos⁡2θ2\therefore\sin^2\theta=\cos^2\frac\theta2 (দেখানো হলো)

  2. খ)

    a2−b2=cot⁡2A−cos⁡2A=cos⁡2Asin⁡2A−cos⁡2A=cos⁡2A(1−sin⁡2A)sin⁡2A=cos⁡2A⋅cos⁡2Asin⁡2A=cos⁡4Asin⁡2Aa^2-b^2=\cot^2A-\cos^2A=\frac{\cos^2A}{\sin^2A}-\cos^2A=\frac{\cos^2A(1-\sin^2A)}{\sin^2A}=\frac{\cos^2A\cdot\cos^2A}{\sin^2A}=\frac{\cos^4A}{\sin^2A}

    ∴a2−b2=cos⁡2Asin⁡A=cos⁡Asin⁡A⋅cos⁡A=cot⁡Acos⁡A=ab\therefore\sqrt{a^2-b^2}=\frac{\cos^2A}{\sin A}=\frac{\cos A}{\sin A}\cdot\cos A=\cot A\cos A=ab (দেখানো হলো)

  3. গ)

    ab=cot⁡Acos⁡A=cos⁡2Asin⁡A=12ab=\cot A\cos A=\frac{\cos^2A}{\sin A}=\frac1{\sqrt2} বা, 2(1−sin⁡2A)=sin⁡A\sqrt2(1-\sin^2A)=\sin A বা, 2sin⁡2A+sin⁡A−2=0\sqrt2\sin^2A+\sin A-\sqrt2=0

    sin⁡A=−1±1+822=−1±322\sin A=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2\sqrt2}=\frac{-1\pm3}{2\sqrt2}; AA সূক্ষ্মকোণ বলে sin⁡A>0\sin A>0, তাই sin⁡A=222=12=sin⁡45∘\sin A=\frac{2}{2\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}=\sin45^\circ

    ∴A=45∘\therefore A=\mathbf{45^\circ}

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন