উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, z = i - \sqrt{3} = -\sqrt{3} + i
   এখানে, বাস্তব অংশ x = -\sqrt{3} < 0 এবং কাল্পনিক অংশ y = 1 > 0।
   সুতরাং, জটিল সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
   অতএব, মুখ্য আর্গুমেন্ট,
   \theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|
   = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|
   = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
   = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

   সাধারণ আর্গুমেন্ট = 2n\pi + \frac{5\pi}{6}, , n \in \mathbb{Z}।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, z_1 = 1 + ix এবং z_2 = a + ib
   অতএব, \bar{z}_1 = 1 - ix এবং \bar{z}_2 = a - ib

   প্রদত্ত সমীকরণ:
   \frac{\bar{z}_1}{z_1} = \bar{z}_2
   \Rightarrow \frac{1 - ix}{1 + ix} = a - ib
   \Rightarrow \frac{(1 - ix)^2}{(1 + ix)(1 - ix)} = a - ib
   \Rightarrow \frac{1 - x^2 - 2ix}{1 + x^2} = a - ib
   \Rightarrow \frac{1 - x^2}{1 + x^2} - i \frac{2x}{1 + x^2} = a - ib

   বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
   a = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} এবং b = \frac{2x}{1 + x^2}

   এখন, দেওয়া আছে |z_2|^2 = 1
   \Rightarrow a^2 + b^2 = 1
   \Rightarrow \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)^2 + \left(\frac{2x}{1 + x^2}\right)^2 = 1
   \Rightarrow \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 + x^2)^2} = 1
   \Rightarrow \frac{(1 + x^2)^2}{(1 + x^2)^2} = 1
   \Rightarrow 1 = 1, যা x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য সত্য।

   বিকল্পভাবে, সমীকরণ থেকে:
   \left|\frac{\bar{z}_1}{z_1}\right| = |\bar{z}_2|
   যেহেতু |\bar{z}_2| = |z_2| = 1 এবং \left|\frac{\bar{z}_1}{z_1}\right| = \frac{|\bar{z}_1|}{|z_1|} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}} = 1, তাই এটি x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য সিদ্ধ হয়।
   সুতরাং, x-এর বাস্তব মান সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, z_2 = a + ib \Rightarrow \bar{z}_2 = a - ib
   এবং z_3 = x + iy

   শর্তানুসারে, \sqrt[3]{\bar{z}_2} = z_3
   \Rightarrow \bar{z}_2 = z_3^3
   \Rightarrow a - ib = (x + iy)^3
   \Rightarrow a - ib = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3
   \Rightarrow a - ib = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3
   \Rightarrow a - ib = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)

   উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
   a = x^3 - 3xy^2 = x(x^2 - 3y^2) \Rightarrow \frac{a}{x} = x^2 - 3y^2 ... (1)
   -b = 3x^2y - y^3 = y(3x^2 - y^2) \Rightarrow b = y(y^2 - 3x^2) \Rightarrow \frac{b}{y} = y^2 - 3x^2 ... (2)

   এখন,
   \frac{b}{2y} - \frac{a}{2x} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{y} - \frac{a}{x}\right)
   = \frac{1}{2} \left[(y^2 - 3x^2) - (x^2 - 3y^2)\right]
   = \frac{1}{2} \left[y^2 - 3x^2 - x^2 + 3y^2\right]
   = \frac{1}{2} \left[4y^2 - 4x^2\right] = 2(y^2 - x^2) [অথবা প্রশ্নানুযায়ী সাধারণত প্রমাণ চাওয়া হয় \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = -2(x^2+y^2)]

   যদি প্রশ্নে প্রদত্ত রাশিটি লক্ষ্য করি:
   ডানপক্ষ = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}}
   উল্লেখ্য, পাঠ্যবইয়ের প্রমিত রূপ অনুযায়ী,
   (2) নং থেকে পাই: -\frac{b}{y} = 3x^2 - y^2
   (1) ও (2) যোগ করে পাই:
   \frac{a}{x} - \frac{b}{y} = -2(x^2 + y^2) = -2|z_3|^2
   \Rightarrow |z_3|^2 = \frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}
   \Rightarrow |z_3| = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}}

   অতএব, |z_3| = \sqrt{\frac{b}{2y} - \frac{a}{2x}} (প্রমাণিত)।