পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে কোনো দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে পুঞ্জীভূত ধরা হয়, যাতে করে অক্ষের সাপেক্ষে পুঞ্জীভূত বিন্দুর জড়তার ভ্রামক সমগ্র বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তবে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে ঐ বিন্দুর লম্ব দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বাঁকা পথে যখন কোনো যানবাহন চলে, তখন বাঁক ঘোরার জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বলের জোগান দিতে হয়। অনুভূমিক রাস্তায় গাড়ি চলার সময় শুধুমাত্র টায়ার ও রাস্তার মধ্যবর্তী ঘর্ষণ বল এই কেন্দ্রমুখী বল পুরোপুরি সরবরাহ করতে পারে না, ফলে গাড়িটি পিছলে যাওয়ার বা উল্টে যাওয়ার ঝুঁকি থাকে। তাই রাস্তার বাঁকের ভিতরের প্রান্ত থেকে বাইরের প্রান্ত কিছুটা উঁচু করা হয় (যাকে ব্যাংকিং বলা হয়), যাতে গাড়ির ওপর প্রযুক্ত প্রতিক্রিয়া বলের একটি অনুভূমিক উপাংশ উৎপন্ন হয় এবং তা প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল সরবরাহ করে দুর্ঘটনা রোধ করতে পারে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   এখানে,
   বস্তুর ভর, $m = 200\text{ gm} = 0.2\text{ kg}$
   ঘূর্ণন সংখ্যা প্রতি মিনিটে, $N = 60$
   সুতরাং, কৌণিক বেগ, $\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2 \times \pi \times 60}{60} = 2\pi\text{ rad/s} \approx 6.283\text{ rad/s}$

   ১ম ক্ষেত্রে ব্যাসার্ধ ভেক্টর,
   $\vec{r_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}\text{ m}$
   $\therefore r_1 = |\vec{r_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}\text{ m}$

   বৃত্তাকার পথে রৈখিক বেগ, $v_1 = r_1 \omega = \sqrt{14} \times 2\pi$
   রৈখিক ভরবেগ, $p_1 = m v_1 = m r_1 \omega$
   সুতরাং, কৌণিক ভরবেগের মান:
   $L_1 = r_1 p_1 = m r_1^2 \omega = 0.2 \times (\sqrt{14})^2 \times 2\pi = 0.2 \times 14 \times 2\pi = 5.6\pi \approx 17.59\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   আমরা জানি, টর্ক $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$

   ১ম ক্ষেত্রে:
   $\vec{r_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$
   $\vec{F_1} = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$

   $\vec{\tau_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[2(-3) - (-1)(4)] - \hat{j}[3(-3) - (-1)(5)] + \hat{k}[3(4) - 2(5)]$
   $= \hat{i}[-6 + 4] - \hat{j}[-9 + 5] + \hat{k}[12 - 10]$
   $= -2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}\text{ N}\cdot\text{m}$
   টর্কের মান, $|\vec{\tau_1}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} \approx 4.90\text{ N}\cdot\text{m}$

   ২য় ক্ষেত্রে:
   $\vec{r_2} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
   উভয় ক্ষেত্রে বল একই, অর্থাৎ $\vec{F} = 5\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$

   $\vec{\tau_2} = \vec{r_2} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 2 & -3 \\ 5 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[2(-3) - (-3)(4)] - \hat{j}[4(-3) - (-3)(5)] + \hat{k}[4(4) - 2(5)]$
   $= \hat{i}[-6 + 12] - \hat{j}[-12 + 15] + \hat{k}[16 - 10]$
   $= 6\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}\text{ N}\cdot\text{m}$
   টর্কের মান, $|\vec{\tau_2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9\text{ N}\cdot\text{m}$

   যেহেতু $|\vec{\tau_1}| \neq |\vec{\tau_2}|$, তাই উদ্দীপকের দুটি অবস্থানে টর্ক সমান হবে না।