উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমাকলনটি হলো:
   $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

   আমরা জানি,
   $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}(x)$

   নির্দিষ্ট যোগজ প্রয়োগ করে পাই,
   $\left[ \sin^{-1}(x) \right]_{0}^{1} = \sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

   উত্তর: $\frac{\pi}{2}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $h(x) = \frac{1}{x(x-1)^2(x^2+1)}$

   ধরি,
   $\frac{1}{x(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{Dx+E}{x^2+1} \quad \text{--- (i)}$

   উভয়পক্ষকে $x(x-1)^2(x^2+1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $1 = A(x-1)^2(x^2+1) + Bx(x-1)(x^2+1) + Cx(x^2+1) + (Dx+E)x(x-1)^2 \quad \text{--- (ii)}$

   (ii) নং সমীকরণে $x = 0$ বসিয়ে পাই,
   $1 = A(-1)^2(1) \implies A = 1$

   (ii) নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই,
   $1 = C(1)(1+1) \implies 2C = 1 \implies C = \frac{1}{2}$

   (ii) নং থেকে $x^4$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
   $A + B + D = 0 \implies 1 + B + D = 0 \implies B + D = -1 \quad \text{--- (iii)}$

   $x^3$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
   $-2A + (-1)B + C + E - 2D = 0 \implies -2 - B + \frac{1}{2} + E - 2D = 0 \implies -B - 2D + E = \frac{3}{2} \quad \text{--- (iv)}$

   $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
   $-2A - B + C + E = 0 \implies -2 - B + \frac{1}{2} + E = 0 \implies -B + E = \frac{3}{2} \quad \text{--- (v)}$

   (iv) এবং (v) তুলনা করে পাই,
   $-2D = 0 \implies D = 0 \quad \text{বা সহগ বিশ্লেষণ অনুযায়ী:}$
   সহগ সঠিকভাবে বিস্তার করলে:
   $A(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 1) = A(x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1)$
   $Bx(x-1)(x^2+1) = B(x^4 - x^3 + x^2 - x)$
   $Cx(x^2+1) = C(x^3 + x)$
   $(Dx+E)x(x^2 - 2x + 1) = (Dx^2 + Ex)(x^2 - 2x + 1) = Dx^4 + (E-2D)x^3 + (D-2E)x^2 + Ex$

   সহগসমূহ:

   • $x^4$: $A + B + D = 0$
   • $x^3$: $-2A - B + C + E - 2D = 0$
   • $x^2$: $2A + B + D - 2E = 0$
   • $x$: $-2A - B + C + E = 0$
   • ধ্রুবক পদ: $A = 1$

   যেহেতু $A = 1$, $C = \frac{1}{2}$:
   $x^3$ এবং $x$ এর সমীকরণ বিয়োগ করে পাই: $-2D = 0 \implies D = 0$ নয়, বরং:
   $-2A - B + C + E = 0 \implies -2 - B + \frac{1}{2} + E = 0 \implies -B + E = \frac{3}{2}$
   $x^3$ এর সমীকরণ: $-2A - B + C + E - 2D = 0 \implies (-2 - B + C + E) - 2D = 0 \implies 0 - 2D = 0$ নয়, কারণ $-2A - B + C$ উভয়টিতেই আছে।
   সুতরাং $-2D = 0 \implies D = 0$ হয়।
   তবে $x^2$ এর সহগ:
   $2(1) + B + D - 2E = 0 \implies 2 + B + D - 2E = 0$
   যেহেতু $A+B+D=0 \implies B+D = -1$, তাই $2 - 1 - 2E = 0 \implies 1 - 2E = 0 \implies E = \frac{1}{2}$ নয়, সঠিক সমাধান:
   $A=1$, $B = -\frac{3}{2}$, $C = \frac{1}{2}$, $D = \frac{1}{2}$, $E = 0$:
   যাচাই:
   $x^4: 1 - 3/2 + 1/2 = 0$ (সঠিক)
   $x^3: -2 - (-3/2) + 1/2 + 0 - 2(1/2) = -2 + 3/2 + 1/2 - 1 = -1 \neq 0$
   সঠিক বিস্তার:
   $1 = A(x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 1) + B(x^4 - x^3 + x^2 - x) + C(x^3 + x) + D(x^4 - 2x^3 + x^2) + E(x^3 - 2x^2 + x)$

   • $x^4: A + B + D = 0$
   • $x^3: -2A - B + C - 2D + E = 0$
   • $x^2: 2A + B + D - 2E = 0$
   • $x: -2A - B + C + E = 0$
   • ধ্রুবক: $A = 1$

   $x=1$ বসালে: $C(1)(2) = 1 \implies C = \frac{1}{2}$।
   $x$ এর সহগ হতে: $-2(1) - B + 1/2 + E = 0 \implies E - B = \frac{3}{2}$।
   $x^3$ এর সহগ: $(-2A - B + C + E) - 2D = 0 \implies 0 - 2D = 0 \implies D = 0$।
   তাহলে $A + B + D = 0 \implies 1 + B + 0 = 0 \implies B = -1$।
   তাহলে $E = B + \frac{3}{2} = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$।
   এখন $x^2$ এর সহগ যাচাই করি:
   $2A + B + D - 2E = 2(1) - 1 + 0 - 2(1/2) = 2 - 1 - 1 = 0$ (সঠিক)।

   অতএব,
   $A = 1, \quad B = -1, \quad C = \frac{1}{2}, \quad D = 0, \quad E = \frac{1}{2}$

   সুতরাং,
   $h(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2(x-1)^2} + \frac{1}{2(x^2+1)}$

   এখন সমাকলন করে পাই,
   $\int h(x) dx = \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{x-1} + \frac{1}{2}\int (x-1)^{-2} dx + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1}$
   $= \ln|x| - \ln|x-1| - \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2}\tan^{-1}(x) + c$
   $= \ln\left|\frac{x}{x-1}\right| - \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2}\tan^{-1}(x) + c$

   উত্তর: $\ln\left|\frac{x}{x-1}\right| - \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2}\tan^{-1}(x) + c$ (যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
   বক্ররেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   $y^2 = 2x \quad \text{--- (i)}$
   $y = x \quad \text{--- (ii)}$

   (ii) নং সমীকরণ থেকে $y$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:
   $x^2 = 2x$
   $\implies x^2 - 2x = 0$
   $\implies x(x - 2) = 0$
   $\therefore x = 0, 2$

   $x = 0$ হলে $y = 0$ এবং $x = 2$ হলে $y = 2$।
   সুতরাং, রেখা এবং পরাবৃত্তের ছেদবিন্দুদ্বয় হলো $(0, 0)$ এবং $(2, 2)$।

   ছায়াঘেরা অঞ্চলটি $x = 0$ থেকে $x = 2$ সীমার মধ্যে পরাবৃত্ত $y_1 = \sqrt{2x}$ এবং সরলরেখা $y_2 = x$ দ্বারা আবদ্ধ।

   অতএব, ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল:
   $A = \int_{0}^{2} (y_1 - y_2) dx$
   $= \int_{0}^{2} (\sqrt{2x} - x) dx$
   $= \sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{1/2} dx - \int_{0}^{2} x dx$
   $= \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} - \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
   $= \frac{2\sqrt{2}}{3} \left[ 2^{3/2} - 0 \right] - \frac{1}{2} [2^2 - 0]$
   $= \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{4}{2}$
   $= \frac{8}{3} - 2 = \frac{8 - 6}{3} = \frac{2}{3} \text{ বর্গ একক}$

   উত্তর: $\frac{2}{3}$ বর্গ একক।