গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x}{\ln x}$, যেখানে $x > 0$ এবং $x \neq 1$।

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$f'(x) = \frac{\ln x \cdot \frac{d}{dx}(x) - x \cdot \frac{d}{dx}(\ln x)}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$

গুরুমান বা লঘুমানের জন্য,
$f'(x) = 0$
$\implies \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0$
$\implies \ln x - 1 = 0$
$\implies \ln x = 1$
$\implies x = e$

এখন, দ্বিতীয় অন্তরজ নির্ণয় করি:
$f''(x) = \frac{d}{dx}\left[\frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}\right] = \frac{(\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} - (\ln x - 1) \cdot 2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^4}$
$= \frac{\ln x [\ln x - 2(\ln x - 1)]}{x (\ln x)^4} = \frac{\ln x - 2\ln x + 2}{x (\ln x)^3} = \frac{2 - \ln x}{x (\ln x)^3}$

$x = e$ বিন্দুতে,
$f''(e) = \frac{2 - \ln e}{e (\ln e)^3} = \frac{2 - 1}{e (1)^3} = \frac{1}{e} > 0$

যেহেতু $f''(e) > 0$, সুতরাং $x = e$ বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।

নির্ণেয় লঘুমান = $f(e) = \frac{e}{\ln e} = \frac{e}{1} = e$।
ফাংশনটির কোনো গুরুমান নেই।