উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে দূরত্বের মান হিসেবে $r$ একক এবং কুমিল্লা বোর্ড ২০২১-এর মূল প্রশ্নানুসারে $r = 3$ একক ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   প্রশ্নে দূরত্বের মানটি অনুপস্থিত থাকায় ধরি দূরত্বটি $r$ একক (কুমিল্লা বোর্ড ২০২১-এর মূল প্রশ্নানুসারে দূরত্ব সাধারণত $3$ একক)।

   সঞ্চারপথের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$।
   বিন্দুটি থেকে $(2, -1)$ বিন্দুর দূরত্ব:
   $\sqrt{(x - 2)^2 + (y - (-1))^2} = r$
   $\Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = r^2$
   $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = r^2$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 - r^2 = 0$

   যদি দূরত্ব $3$ একক ধরা হয় ($r = 3$):
   $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 - 3^2 = 0$
   $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে দূরত্বের মান হিসেবে $r$ একক এবং কুমিল্লা বোর্ড ২০২১-এর মূল প্রশ্নানুসারে $r = 3$ একক ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   উদ্দীপক হতে পাই, $A(2, 0)$ এবং $B\left(0, \frac{8}{3}\right)$।
   $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{2} + \frac{y}{\frac{8}{3}} = 1$
   $\Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{3y}{8} = 1$
   $\Rightarrow 4x + 3y = 8$
   $\Rightarrow 4x + 3y - 8 = 0$

   $AB$ রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ:
   $4x + 3y + c = 0 \quad \text{...(i)}$

   যেহেতু রেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব $2$ একক:
   $\frac{|c - (-8)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|c + 8|}{5} = 2$
   $\Rightarrow |c + 8| = 10$
   $\Rightarrow c + 8 = \pm 10$

   $+$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $c = 10 - 8 = 2$
   $-$ চিহ্ন নিয়ে পাই, $c = -10 - 8 = -18$

   সুতরাং নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখাগুলোর সমীকরণ:
   $4x + 3y + 2 = 0$
   এবং
   $4x + 3y - 18 = 0$

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: ক অংশে দূরত্বের মান হিসেবে $r$ একক এবং কুমিল্লা বোর্ড ২০২১-এর মূল প্রশ্নানুসারে $r = 3$ একক ধরে সমাধান করা হয়েছে।

   $AB$ সরলরেখার সমীকরণ: $4x + 3y - 8 = 0$
   $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{4}{3}$

   ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m$।
   রেখাটি $(1, 2)$ বিন্দুগামী হওয়ায় এর সমীকরণ:
   $y - 2 = m(x - 1) \quad \text{...(i)}$

   প্রশ্নমতে, রেখাটি $AB$ রেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।
   $\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m m_1}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 + m \left(-\frac{4}{3}\right)}$
   $\Rightarrow 1 = \pm \frac{3m + 4}{3 - 4m}$
   $\Rightarrow 3 - 4m = \pm (3m + 4)$

   $+$ চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $3 - 4m = 3m + 4 \Rightarrow -7m = 1 \Rightarrow m = -\frac{1}{7}$

   $-$ চিহ্ন নিয়ে পাই:
   $3 - 4m = -(3m + 4) \Rightarrow -m = -7 \Rightarrow m = 7$

   $m$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
   যখন $m = -\frac{1}{7}$:
   $y - 2 = -\frac{1}{7}(x - 1) \Rightarrow 7y - 14 = -x + 1 \Rightarrow x + 7y - 15 = 0$

   যখন $m = 7$:
   $y - 2 = 7(x - 1) \Rightarrow y - 2 = 7x - 7 \Rightarrow 7x - y - 5 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সরলরেখা দুইটির সমীকরণ: $x + 7y - 15 = 0$ এবং $7x - y - 5 = 0$।