উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $\cot \theta = \sqrt{2}$
   আমরা জানি,
   $\cos 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{\cot^2 \theta + 1}$
   $\therefore \cos 2\theta = \frac{(\sqrt{2})^2 - 1}{(\sqrt{2})^2 + 1} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে $\triangle ABC$-এ,
   $\angle BCA = 120^\circ$ এবং $\angle B = 40^\circ$
   ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$ হওয়ায়,
   $A = 180^\circ - (120^\circ + 40^\circ) = 20^\circ$

   বামপক্ষ $= \frac{\sqrt{3}}{4} \operatorname{cosec} A - \frac{1}{4} \sec A$
   $= \frac{\sqrt{3}}{4\sin 20^\circ} - \frac{1}{4\cos 20^\circ}$
   $= \frac{\sqrt{3}\cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ}$
   $= \frac{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\sin 20^\circ\right)}{2(2\sin 20^\circ \cos 20^\circ)}$
   $= \frac{\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ}{\sin(2 \times 20^\circ)}$
   $= \frac{\sin(60^\circ - 20^\circ)}{\sin 40^\circ} = \frac{\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 1 = \text{ডানপক্ষ}$
   (দেখানো হলো)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রে একটি সরলরেখায় $\theta$ ও $120^\circ$ সন্নিহিত কোণ।
   $\therefore \theta + 120^\circ = 180^\circ \implies \theta = 60^\circ$

   বামপক্ষ $= 3 - \cos^2(\theta + A) - \cos^2 A - \cos^2(\theta - A)$
   $= [1 - \cos^2(\theta + A)] + [1 - \cos^2(\theta - A)] + [1 - \cos^2 A]$
   $= \sin^2(\theta + A) + \sin^2(\theta - A) + \sin^2 A$
   $\theta = 60^\circ$ বসিয়ে,
   $= \sin^2(60^\circ + A) + \sin^2(60^\circ - A) + \sin^2 A$
   $= (\sin 60^\circ \cos A + \cos 60^\circ \sin A)^2 + (\sin 60^\circ \cos A - \cos 60^\circ \sin A)^2 + \sin^2 A$
   $= 2[\sin^2 60^\circ \cos^2 A + \cos^2 60^\circ \sin^2 A] + \sin^2 A$
   $= 2\left[\frac{3}{4}\cos^2 A + \frac{1}{4}\sin^2 A\right] + \sin^2 A$
   $= \frac{3}{2}\cos^2 A + \frac{1}{2}\sin^2 A + \sin^2 A$
   $= \frac{3}{2}(\cos^2 A + \sin^2 A) = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2} = \text{ডানপক্ষ}$
   (দেখানো হলো)