পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একই জাতীয় দুটি অসমমানের ভেক্টর যদি একই দিকে ক্রিয়া করে, তবে তাদেরকে সদৃশ ভেক্টর বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি ভেক্টরের লব্ধির মান শূন্য হতে হলে ভেক্টরদ্বয়কে মানে সমান এবং পরস্পরের বিপরীতমুখী হতে হয়।

   ধরি, দুটি ভেক্টর \vec{A} ও \vec{B} এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \alpha। লব্ধি R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\alpha}। লব্ধির মান সর্বনিম্ন হয় যখন \alpha = 180^\circ, অর্থাৎ R_{min} = |A - B|।
   যদি ভেক্টর দুটি অসমান হয় (অর্থাৎ A \neq B), তবে |A - B| \neq 0। অর্থাৎ লব্ধির সর্বনিম্ন মানও শূন্যের চেয়ে বেশি হবে। সুতরাং, দুটি অসমান ভেক্টরের লব্ধি কখনো শূন্য হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের চিত্রানুযায়ী,
   P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 2) এবং Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 1, 3)।
   অতএব, P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে:
   \vec{P} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}
   \vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}

   \Delta OPQ ত্রিভুজের সন্নিহিত দুই বাহু \vec{P} ও \vec{Q} নির্দেশ করে।
   সুতরাং, \Delta OPQ এর ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}|

   এখন,
   \vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}
   = \hat{i}(9 - 2) - \hat{j}(3 - 4) + \hat{k}(1 - 6)
   = 7\hat{i} + \hat{j} - 5\hat{k}

   \therefore |\vec{P} \times \vec{Q}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{49 + 1 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}

   অতএব, \Delta OPQ এর ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 বর্গ একক।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক থেকে পাই,
   \vec{P} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}
   \vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}

   ধরি, \vec{A} = \vec{P} + \vec{Q} = (1+2)\hat{i} + (3+1)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}
   এবং \vec{B} = \vec{P} - \vec{Q} = (1-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}

   ভেক্টরদ্বয়ের মান:
   |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   |\vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

   +Y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর \hat{j}।
   ধরি, \vec{A} ভেক্টরটি +Y অক্ষের সাথে \theta_1 কোণ এবং \vec{B} ভেক্টরটি +Y অক্ষের সাথে \theta_2 কোণ উৎপন্ন করে।

   \cos\theta_1 = \frac{\vec{A} \cdot \hat{j}}{|\vec{A}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}} \approx 0.5657
   \therefore \theta_1 = \cos^{-1}(0.5657) \approx 55.55^\circ

   \cos\theta_2 = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \approx 0.8165
   \therefore \theta_2 = \cos^{-1}(0.8165) \approx 35.26^\circ

   যেহেতু \theta_1 \neq \theta_2, তাই \vec{P}+\vec{Q} ও \vec{P}-\vec{Q} ভেক্টরদ্বয় +Y অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে না।