উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রদত্ত বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y) = (-4, -4)$ এবং পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$।

   আমরা জানি,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

   যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{-4}{-4}\right| = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ (অথবা, $\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$)

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক $\left(4\sqrt{2}, -\frac{3\pi}{4}\right)$ বা $\left(4\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে AB রেখার সমীকরণ:
   $5x + 9y = 27$
   বা, $5x + 9y - 27 = 0$ ... (i)

   (i) নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $5x + 9y + k = 0$ ... (ii)

   (i) ও (ii) নং সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব,
   $d = \frac{|k - (-27)|}{\sqrt{5^2 + 9^2}} = \frac{|k + 27|}{\sqrt{25 + 81}} = \frac{|k + 27|}{\sqrt{106}}$

   শর্তানুসারে,
   $\frac{|k + 27|}{\sqrt{106}} = 4$
   $\implies |k + 27| = 4\sqrt{106}$
   $\implies k + 27 = \pm 4\sqrt{106}$
   $\implies k = -27 \pm 4\sqrt{106}$

   $k$-এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
   $5x + 9y - 27 \pm 4\sqrt{106} = 0$

   অতএব, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: $5x + 9y - 27 \pm 4\sqrt{106} = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে AB রেখার সমীকরণ:
   $5x + 9y = 27$
   বা, $9y = -5x + 27$
   বা, $y = -\frac{5}{9}x + 3$
   অতএব, AB রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{5}{9}$

   ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার ঢাল $m$।

   যেহেতু রেখাটি AB সরলরেখার সাথে $45^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে, সুতরাং
   $\tan 45^\circ = \pm \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}$
   $\implies 1 = \pm \frac{m - \left(-\frac{5}{9}\right)}{1 + m \left(-\frac{5}{9}\right)}$
   $\implies 1 = \pm \frac{9m + 5}{9 - 5m}$

   '+' চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $1 = \frac{9m + 5}{9 - 5m}$
   $\implies 9 - 5m = 9m + 5$
   $\implies 14m = 4$
   $\implies m = \frac{2}{7}$

   '-' চিহ্ন নিয়ে পাই,
   $1 = -\frac{9m + 5}{9 - 5m}$
   $\implies 9 - 5m = -9m - 5$
   $\implies 4m = -14$
   $\implies m = -\frac{7}{2}$

   নির্ণেয় রেখাটি $(5, 4)$ বিন্দুগামী।

   $m = \frac{2}{7}$ হলে রেখার সমীকরণ:
   $y - 4 = \frac{2}{7}(x - 5)$
   $\implies 7y - 28 = 2x - 10$
   $\implies 2x - 7y + 18 = 0$

   $m = -\frac{7}{2}$ হলে রেখার সমীকরণ:
   $y - 4 = -\frac{7}{2}(x - 5)$
   $\implies 2y - 8 = -7x + 35$
   $\implies 7x + 2y - 43 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ: $2x - 7y + 18 = 0$ এবং $7x + 2y - 43 = 0$।