উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প১: 3x3+2x2−x−1=0 3 \mathrm{x}^{3}+2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}-1=0 সমীকরণের তিনটি মূল হলোα,β ও γ \alpha, \beta ও \gamma দৃশ্যকল্প ২: x2+gx+h=0,x2+hx+g=0 x^{2}+g x+h=0, x^{2}+h x+g=0

  1. ক)

    2x2−x−1=0 2 x^{2}-x-1=0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    1α,1βও1γ \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta} ও\frac{1}{\gamma} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0
    এখানে, a=2,b=−1,c=−1a = 2, b = -1, c = -1
    সমীকরণটির নিশ্চয়ক বা পৃথায়ক,
    D=b2−4acD = b^2 - 4ac
    D=(−1)2−4(2)(−1)=1+8=9D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9
    যেহেতু পৃথায়ক D>0D > 0 এবং একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা (9=329 = 3^2), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 3x3+2x2−x−1=03x^3 + 2x^2 - x - 1 = 0, যার মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma।
    1α,1β,1γ\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ পেতে হলে প্রদত্ত সমীকরণে xx-এর পরিবর্তে 1y\frac{1}{y} প্রতিস্থাপন করতে হবে।

    সুতরাং,
    3(1y)3+2(1y)2−(1y)−1=03\left(\frac{1}{y}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{y}\right)^2 - \left(\frac{1}{y}\right) - 1 = 0
    বা, 3y3+2y2−1y−1=0\frac{3}{y^3} + \frac{2}{y^2} - \frac{1}{y} - 1 = 0
    উভয়পক্ষকে y3y^3 দ্বারা গুণ করে পাই,
    3+2y−y2−y3=03 + 2y - y^2 - y^3 = 0
    বা, −y3−y2+2y+3=0-y^3 - y^2 + 2y + 3 = 0
    বা, y3+y2−2y−3=0y^3 + y^2 - 2y - 3 = 0

    অতএব, নির্ণেয় সমীকরণটি হলো:
    x3+x2−2x−3=0x^3 + x^2 - 2x - 3 = 0

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:
    x2+gx+h=0x^2 + gx + h = 0 ..... (i)
    x2+hx+g=0x^2 + hx + g = 0 ..... (ii)

    ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি হলো α\alpha।
    তাহলে,
    α2+gα+h=0\alpha^2 + g\alpha + h = 0
    α2+hα+g=0\alpha^2 + h\alpha + g = 0
    বিয়োগ করে পাই,
    (g−h)α+(h−g)=0(g - h)\alpha + (h - g) = 0
    বা, (g−h)α=g−h(g - h)\alpha = g - h
    যেহেতু সমীকরণদ্বয় ভিন্ন, তাই g≠hg \neq h, সুতরাং α=1\alpha = 1।

    α=1\alpha = 1 মানটি (i) নং এ বসিয়ে পাই:
    12+g(1)+h=0  ⟹  g+h+1=0  ⟹  g+h=−11^2 + g(1) + h = 0 \implies g + h + 1 = 0 \implies g + h = -1

    ধরি, (i) সমীকরণের অপর মূলটি β\beta এবং (ii) সমীকরণের অপর মূলটি γ\gamma।
    মূল ও সহগের সম্পর্ক থেকে,
    (i) সমীকরণে সাধারণ মূল 11 ও অপর মূল β\beta-এর জন্য:
    1⋅β=h  ⟹  β=h1 \cdot \beta = h \implies \beta = h

    (ii) সমীকরণে সাধারণ মূল 11 ও অপর মূল γ\gamma-এর জন্য:
    1⋅γ=g  ⟹  γ=g1 \cdot \gamma = g \implies \gamma = g

    অতএব, অপর মূলদ্বয় হলো hh এবং gg।
    তাদের যোগফল =h+g=−1= h + g = -1
    তাদের গুণফল =hg=gh= hg = gh

    সুতরাং, অপর মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ:
    x2−(h+g)x+gh=0x^2 - (h + g)x + gh = 0
    বা, x2−(−1)x+gh=0x^2 - (-1)x + gh = 0
    বা, x2+x+gh=0x^2 + x + gh = 0

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন