উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=(x2+3x)11…………….(i) f(x)=\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)^{11}…………….(i) g(x)=(1+px)m…………………….(ii) g(x)=(1+p x)^{m}…………………….(ii)

  1. ক)

    (1−3x)−1 (1-3 x)^{-1} এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    f(x) এর বিস্তৃতিতে (r + 1) তম ও (r + 2) তম পদের সহগ সমান হলে । এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    g(x)এp=−8 g(x) এ p=-8 এবং m=−12 m=-\frac{1}{2} হলে দেখাও যে xr x^{r} এর সহগ (2r)!2r(r!)2 \frac{(2 r) ! 2^{r}}{(r !)^{2}} .

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে, যখন ∣3x∣<1|3x| < 1 বা ∣x∣<13|x| < \frac{1}{3},
    (1−3x)−1=1+(−1)(−3x)+(−1)(−2)2!(−3x)2+(−1)(−2)(−3)3!(−3x)3+⋯(1 - 3x)^{-1} = 1 + (-1)(-3x) + \frac{(-1)(-2)}{2!} (-3x)^2 + \frac{(-1)(-2)(-3)}{3!} (-3x)^3 + \cdots
    =1+3x+(3x)2+(3x)3+⋯= 1 + 3x + (3x)^2 + (3x)^3 + \cdots
    =1+3x+9x2+27x3+⋯+(3x)r+⋯= 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots + (3x)^r + \cdots

    উত্তর: 1+3x+9x2+27x3+⋯1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \cdots

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=(x2+3x)11f(x) = \left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^{11}
    f(x)f(x) এর বিস্তৃতির সাধারণ পদ:
    Tr+1=(11r)(x2)11−r(3x)r=(11r)x22−2r⋅3r⋅x−r=(11r)3rx22−3rT_{r+1} = \binom{11}{r} (x^2)^{11-r} \left(\frac{3}{x}\right)^r = \binom{11}{r} x^{22-2r} \cdot 3^r \cdot x^{-r} = \binom{11}{r} 3^r x^{22-3r}

    সুতরাং, (r+1)(r+1) তম পদের সহগ =(11r)3r= \binom{11}{r} 3^r

    অনুরূপভাবে, (r+2)(r+2) তম পদ:
    Tr+2=T(r+1)+1=(11r+1)3r+1x22−3(r+1)T_{r+2} = T_{(r+1)+1} = \binom{11}{r+1} 3^{r+1} x^{22-3(r+1)}
    সুতরাং, (r+2)(r+2) তম পদের সহগ =(11r+1)3r+1= \binom{11}{r+1} 3^{r+1}

    প্রশ্নমতে,
    (11r)3r=(11r+1)3r+1\binom{11}{r} 3^r = \binom{11}{r+1} 3^{r+1}
    বা, (11r)(11r+1)=3\frac{\binom{11}{r}}{\binom{11}{r+1}} = 3
    বা, 11!r!(11−r)!11!(r+1)!(10−r)!=3\frac{\frac{11!}{r!(11-r)!}}{\frac{11!}{(r+1)!(10-r)!}} = 3
    বা, (r+1)!(10−r)!r!(11−r)!=3\frac{(r+1)!(10-r)!}{r!(11-r)!} = 3
    বা, r+111−r=3\frac{r+1}{11-r} = 3
    বা, r+1=33−3rr + 1 = 33 - 3r
    বা, 4r=324r = 32
    বা, r=8r = 8

    উত্তর: r=8r = 8

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=(1+px)mg(x) = (1 + px)^m
    এখানে p=−8p = -8 এবং m=−12m = -\frac{1}{2}
    ∴g(x)=(1−8x)−12\therefore g(x) = (1 - 8x)^{-\frac{1}{2}}

    আমরা জানি, (1−y)−n(1 - y)^{-n} এর বিস্তৃতিতে yry^r এর সাধারণ পদ:
    (1−y)−12(1 - y)^{-\frac{1}{2}} এর বিস্তৃতিতে (r+1)(r+1) তম পদ বা xrx^r সংবলিত পদটি হলো:
    Tr+1=(−12)(−12−1)(−12−2)⋯(−12−(r−1))r!(−8x)rT_{r+1} = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right)\left(-\frac{1}{2}-2\right)\cdots\left(-\frac{1}{2}-(r-1)\right)}{r!} (-8x)^r
    =(−1)r⋅12⋅32⋅52⋯2r−12r!(−1)r8rxr= \frac{(-1)^r \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdots \frac{2r-1}{2}}{r!} (-1)^r 8^r x^r
    =1⋅3⋅5⋯(2r−1)2r⋅r!⋅8rxr= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-1)}{2^r \cdot r!} \cdot 8^r x^r
    =1⋅3⋅5⋯(2r−1)r!⋅4rxr= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2r-1)}{r!} \cdot 4^r x^r

    লব ও হরকে 2⋅4⋅6⋯(2r)2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2r) দ্বারা গুণ করে পাই:
    =1⋅2⋅3⋅4⋅5⋯(2r−1)(2r)r!⋅[2⋅4⋅6⋯(2r)]⋅4rxr= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdots (2r-1)(2r)}{r! \cdot [2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2r)]} \cdot 4^r x^r
    =(2r)!r!⋅2r(1⋅2⋅3⋯r)⋅4rxr= \frac{(2r)!}{r! \cdot 2^r(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots r)} \cdot 4^r x^r
    =(2r)!r!⋅2r⋅r!⋅(22)rxr= \frac{(2r)!}{r! \cdot 2^r \cdot r!} \cdot (2^2)^r x^r
    =(2r)!(r!)2⋅2r⋅22rxr= \frac{(2r)!}{(r!)^2 \cdot 2^r} \cdot 2^{2r} x^r
    =(2r)!⋅2r(r!)2xr= \frac{(2r)! \cdot 2^r}{(r!)^2} x^r

    সুতরাং, xrx^r এর সহগ =(2r)!2r(r!)2= \frac{(2r)! 2^r}{(r!)^2} (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন