গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $O$ কেন্দ্র নিয়ে ইচ্ছামতো ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত আঁকি এবং এর উপর $P$ বিন্দু নিই।
   ২. $O, P$ যোগ করে $OP$ কে $Q$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।
   ৩. $P$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে $OQ$ এর দুই পাশে $A$ ও $B$ বিন্দু নির্ণয় করি।
   ৪. $A$ ও $B$ কে কেন্দ্র করে $AP$ এর চেয়ে বড় সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একই পাশে দুইটি চাপ আঁকি, যারা $C$ ও $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $C, D$ যোগ করে উভয় দিকে বাড়াই। $CD$ রেখাই $P$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক।

2. খ)

   এখানে ভূমি $a = 5.5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle x = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2.5$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 5.5$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $B$ বিন্দুতে $\angle CBX = 30^\circ$ আঁকি।
   ৩. $BX$ রশ্মি থেকে $BD = 2.5$ সে.মি. কেটে নিই।
   ৪. $D, C$ যোগ করি এবং $DC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি; এটি $BX$ কে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $A, C$ যোগ করি।

   $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।

   প্রমাণ: $A$ বিন্দু $DC$ এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর, তাই $AD = AC$। অতএব $AB - AC = AB - AD = BD = 2.5$ সে.মি. = $d$। ত্রিভুজটির $BC = 5.5$ সে.মি. এবং $\angle B = 30^\circ$।

3. গ)

   সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a = 5.5$ সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $BC = 5.5$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $B$ ও $C$ কে কেন্দ্র করে $5.5$ সে.মি. ব্যাসার্ধ নিয়ে $BC$ এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা $A$ বিন্দুতে ছেদ করে। $A, B$ ও $A, C$ যোগ করি। $\triangle ABC$ সমবাহু।
   ৩. $\angle B$ ও $\angle C$ এর সমদ্বিখণ্ডক আঁকি; এরা $I$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৪. $I$ থেকে $BC$ এর উপর লম্ব $IM$ আঁকি।
   ৫. $I$ কে কেন্দ্র করে $IM$ ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি।

   এই বৃত্তটিই নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত, যা ত্রিভুজের তিন বাহুকেই স্পর্শ করে।