If Cr{C}_{r} denotes the binomial coefficient ;nCr{ _{ ; }^{ n }{ C } }_{ r } then (−1)C02+2C12+5C22+......(3n−1)Cn2=\left( -1 \right) { C }_{ 0 }^{ 2 }+2{ C }_{ 1 }^{ 2 }+5{ C }_{ 2 }^{ 2 }+......(3n-1){ C }_{ n }^{ 2 }=\quad

Question

Accepted Answer

খ. (3n−22)2nCn\left( \cfrac { 3n-2 }{ 2 } \right) { _{ }^{ 2n }{ C } }_{ n }

ব্যাখ্যা: ধরি, $S = \sum_{r=0}^{n} (3r - 1) C_r^2$। পদগুলো বিপরীত ক্রমে লিখে পাই, $S = \sum_{r=0}^{n} [3(n-r) - 1] C_{n-r}^2 = \sum_{r=0}^{n} (3n - 1 - 3r) C_r^2$ (যেহেতু $C_{n-r} = C_r$)। সমীকরণ দুটি যোগ করলে পাই, $2S = \sum_{r=0}^{n} [(3r - 1) + (3n - 1 - 3r)] C_r^2 = (3n - 2) \sum_{r=0}^{n} C_r^2$। আমরা জানি, $\sum_{r=0}^{n} C_r^2 = {}^{2n}C_n$। সুতরাং, $2S = (3n - 2) {}^{2n}C_n \implies S = \left(\frac{3n - 2}{2}\right) {}^{2n}C_n$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন