পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০১৭

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

নিচের চিত্র অনুসারে OABC একটি আয়তক্ষেত্র। এর OA এবং OB বাহু দ্বারা দুটি ভেক্ট যথাক্রমে p→=i^−2j^−k^ \overrightarrow{\mathrm{p}}=\hat{\mathbf{i}}-2 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}} এবং Q→=2i^−3j^+2k^ \overrightarrow{\mathbf{Q}}=2 \hat{\mathbf{i}}-3 \hat{\mathbf{j}}+2 \hat{\mathbf{k}} নির্দেশিত হয়েছে।

  1. ক)

    গ্রেডিয়েন্ট কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    ∣A⃗+B⃗∣=∣A⃗−B⃗∣\ |\vec{A}+\vec{B}|=|\vec{A}-\vec{B}| হলে, θ=?

    (2)
  3. গ)

    OA, OB ভেক্টর দুইটিকে একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু ধরে ক্ষেত্রফল বের করো।

    (3)
  4. ঘ)

    উদ্দীপক অনুসারে θ1 \theta_{1} ও θ2 \theta_{2} এর মধ্যে কোনটি বড় তা গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে বের কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    কোনো স্কেলার ক্ষেত্রকে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রে রূপান্তরের জন্য ব্যবহৃত ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর (ডিল, ∇⃗\vec{\nabla})-এর মাধ্যমে স্কেলার ফাংশনের সর্বাধিক বৃদ্ধির হার ও অভিমুখ নির্দেশকারী ভেক্টর রাশিকে স্কেলার ক্ষেত্রটির গ্রেডিয়েন্ট (Gradient) বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ∣A⃗+B⃗∣=∣A⃗−B⃗∣|\vec{A} + \vec{B}| = |\vec{A} - \vec{B}|

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    ∣A⃗+B⃗∣2=∣A⃗−B⃗∣2|\vec{A} + \vec{B}|^2 = |\vec{A} - \vec{B}|^2
      ⟹  A2+B2+2ABcos⁡θ=A2+B2−2ABcos⁡θ\implies A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta
      ⟹  4ABcos⁡θ=0\implies 4AB\cos\theta = 0

    যেহেতু A≠0A \neq 0 এবং B≠0B \neq 0,
    cos⁡θ=0\cos\theta = 0
      ⟹  θ=90∘\implies \theta = 90^\circ

    অতএব, ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ=90∘\theta = 90^\circ।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    P⃗=i^−2j^−k^\vec{P} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k} (OA বাহু নির্দেশক)
    Q⃗=2i^−3j^+2k^\vec{Q} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} (OB কর্ণ/বাহু নির্দেশক)

    ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু বিবেচনায় গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,
    ক্ষেত্রফল=12∣P⃗×Q⃗∣\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |\vec{P} \times \vec{Q}|

    এখন, P⃗×Q⃗=∣i^j^k^1−2−12−32∣\vec{P} \times \vec{Q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -1 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}
    =i^(−4−3)−j^(2−(−2))+k^(−3−(−4))= \hat{i}(-4 - 3) - \hat{j}(2 - (-2)) + \hat{k}(-3 - (-4))
    =−7i^−4j^+k^= -7\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}

    অতএব, ∣P⃗×Q⃗∣=(−7)2+(−4)2+12=49+16+1=66≈8.124|\vec{P} \times \vec{Q}| = \sqrt{(-7)^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 16 + 1} = \sqrt{66} \approx 8.124

    সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =12×66≈4.062= \frac{1}{2} \times \sqrt{66} \approx 4.062 বর্গ একক।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, OABC একটি আয়তক্ষেত্র যার বাহু OA⃗=P⃗=i^−2j^−k^\vec{OA} = \vec{P} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k} এবং কর্ণ OB⃗=Q⃗=2i^−3j^+2k^\vec{OB} = \vec{Q} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}।

    তাহলে, ভেক্টরদ্বয়ের মান:
    ∣OA⃗∣=12+(−2)2+(−1)2=1+4+1=6|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt{6}
    ∣OB⃗∣=22+(−3)2+22=4+9+4=17|\vec{OB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{4+9+4} = \sqrt{17}

    চিত্রানুসারে, OB⃗\vec{OB} এবং OC⃗\vec{OC}-এর মধ্যবর্তী কোণ θ1\theta_1 এবং কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু সাপেক্ষে বা OA⃗\vec{OA} ও কর্ণ CA⃗\vec{CA}-এর মধ্যবর্তী কোণ θ2\theta_2।

    আয়তক্ষেত্রে ∠AOC=90∘\angle AOC = 90^\circ।
    অতএব, OA⃗\vec{OA} এবং কর্ণ OB⃗\vec{OB}-এর মধ্যবর্তী কোণ ∠AOB=90∘−θ1\angle AOB = 90^\circ - \theta_1।

    OA⃗\vec{OA} ও OB⃗\vec{OB}-এর ডট গুণন থেকে পাই:
    OA⃗⋅OB⃗=∣OA⃗∣∣OB⃗∣cos⁡(∠AOB)\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| |\vec{OB}| \cos(\angle AOB)
      ⟹  (1)(2)+(−2)(−3)+(−1)(2)=6⋅17cos⁡(∠AOB)\implies (1)(2) + (-2)(-3) + (-1)(2) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{17} \cos(\angle AOB)
      ⟹  2+6−2=102cos⁡(∠AOB)\implies 2 + 6 - 2 = \sqrt{102} \cos(\angle AOB)
      ⟹  6=102cos⁡(∠AOB)\implies 6 = \sqrt{102} \cos(\angle AOB)
      ⟹  cos⁡(∠AOB)=6102≈0.594\implies \cos(\angle AOB) = \frac{6}{\sqrt{102}} \approx 0.594
      ⟹  ∠AOB=cos⁡−1(0.594)≈53.55∘\implies \angle AOB = \cos^{-1}(0.594) \approx 53.55^\circ

    সুতরাং, θ1=90∘−∠AOB=90∘−53.55∘=36.45∘\theta_1 = 90^\circ - \angle AOB = 90^\circ - 53.55^\circ = 36.45^\circ।

    আয়তক্ষেত্রের ধর্ম অনুসারে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান (OB=CAOB = CA) এবং তারা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    সমকোণী ত্রিভুজ △OAC\triangle OAC-এ, ∠OCA=θ1\angle OCA = \theta_1 (বা একান্তর কোণ ও জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য হতে ∠OAC=∠BCA\angle OAC = \angle BCA) এবং চিত্রে OA⃗\vec{OA} ও কর্ণ CA⃗\vec{CA}-এর মধ্যবর্তী কোণ θ2=∠OAC\theta_2 = \angle OAC।
    সমকোণী ত্রিভুজ △OAC\triangle OAC-এ:
    ∠AOC=90∘\angle AOC = 90^\circ
    অতএব, ∠OAC=90∘−∠OCA=90∘−θ1=∠AOB\angle OAC = 90^\circ - \angle OCA = 90^\circ - \theta_1 = \angle AOB।
    অতএব, θ2=53.55∘\theta_2 = 53.55^\circ।
    (অথবা, tan⁡θ2=OCOA=ABOA=tan⁡(∠AOB)=OB2−OA2OA=17−66=116≈1.354\tan\theta_2 = \frac{OC}{OA} = \frac{AB}{OA} = \tan(\angle AOB) = \frac{\sqrt{OB^2 - OA^2}}{OA} = \frac{\sqrt{17 - 6}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{11}{6}} \approx 1.354
      ⟹  θ2=tan⁡−1(1.354)≈53.55∘\implies \theta_2 = \tan^{-1}(1.354) \approx 53.55^\circ)

    যেহেতু θ1=36.45∘\theta_1 = 36.45^\circ এবং θ2=53.55∘\theta_2 = 53.55^\circ,
    সুতরাং গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায় যে, θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 অর্থাৎ θ2\theta_2 কোণটি θ1\theta_1 অপেক্ষা বড়।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন