উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

  1. ক)

    ddx(cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡x)\frac{d}{d x}\left(\frac{\cos x-\cos 2 x}{1-\cos x}\right) নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে (0,π)(0, \pi) ব্যবধিতে f(π2−x)+f(2x)f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f(2 x) ফাংশনের লঘুমান এবং গুরুমান নির্ণয় কর।

    (2)
  3. গ)

    উদ্দীপকের আরোকে ∫{f(x)}3dx+∫1−{f(x)}2\int{f(x)}^{3} \mathrm{dx}+\int \sqrt{1-{f(\mathrm{x})}^{2}} ln⁡{f(x)}dx\ln {f(x)} \mathrm{dx} এর মান নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, y=cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡xy = \frac{\cos x - \cos 2x}{1 - \cos x}
    আমরা জানি, cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
    y=cos⁡x−(2cos⁡2x−1)1−cos⁡x=−2cos⁡2x+cos⁡x+11−cos⁡xy = \frac{\cos x - (2\cos^2 x - 1)}{1 - \cos x} = \frac{-2\cos^2 x + \cos x + 1}{1 - \cos x}
    =−(2cos⁡2x−cos⁡x−1)−(cos⁡x−1)=2cos⁡2x−2cos⁡x+cos⁡x−1cos⁡x−1= \frac{-(2\cos^2 x - \cos x - 1)}{-(\cos x - 1)} = \frac{2\cos^2 x - 2\cos x + \cos x - 1}{\cos x - 1}
    =2cos⁡x(cos⁡x−1)+1(cos⁡x−1)cos⁡x−1=(cos⁡x−1)(2cos⁡x+1)cos⁡x−1= \frac{2\cos x(\cos x - 1) + 1(\cos x - 1)}{\cos x - 1} = \frac{(\cos x - 1)(2\cos x + 1)}{\cos x - 1}
    =2cos⁡x+1(cos⁡x≠1)= 2\cos x + 1 \quad (\cos x \neq 1)

    এখন, xx এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
    ddx(cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡x)=ddx(2cos⁡x+1)=−2sin⁡x\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x - \cos 2x}{1 - \cos x}\right) = \frac{d}{dx}(2\cos x + 1) = -2\sin x
    নির্ণেয় মান: −2sin⁡x-2\sin x।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    ধরি ফাংশনটি g(x)=f(π2−x)+f(2x)=cos⁡(π2−x)+cos⁡2x=sin⁡x+cos⁡2xg(x) = f\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + f(2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos 2x = \sin x + \cos 2x

    প্রথম অন্তরজ:
    g′(x)=cos⁡x−2sin⁡2x=cos⁡x−4sin⁡xcos⁡x=cos⁡x(1−4sin⁡x)g'(x) = \cos x - 2\sin 2x = \cos x - 4\sin x \cos x = \cos x (1 - 4\sin x)

    দ্বিতীয় অন্তরজ:
    g′′(x)=−sin⁡x−4cos⁡2xg''(x) = -\sin x - 4\cos 2x

    চরম মানের জন্য g′(x)=0g'(x) = 0:
      ⟹  cos⁡x(1−4sin⁡x)=0\implies \cos x(1 - 4\sin x) = 0

    যেহেতু ব্যবধি (0,π)(0, \pi),
    হয় cos⁡x=0  ⟹  x=π2∈(0,π)\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} \in (0, \pi)
    অথবা 1−4sin⁡x=0  ⟹  sin⁡x=141 - 4\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4}

    ১) x=π2x = \frac{\pi}{2} বিন্দুতে:
    g′′(π2)=−sin⁡(π2)−4cos⁡(π)=−1−4(−1)=3>0g''\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 4\cos(\pi) = -1 - 4(-1) = 3 > 0
    সুতরাং, x=π2x = \frac{\pi}{2} বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
    নির্ণেয় লঘুমান =g(π2)=sin⁡(π2)+cos⁡(2⋅π2)=1+cos⁡π=1−1=0= g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 1 + \cos \pi = 1 - 1 = 0

    ২) sin⁡x=14\sin x = \frac{1}{4} হলে:
    আমরা জানি, cos⁡2x=1−2sin⁡2x=1−2(14)2=1−18=78\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
    g′′(x)=−sin⁡x−4cos⁡2x=−14−4(78)=−14−72=−154<0g''(x) = -\sin x - 4\cos 2x = -\frac{1}{4} - 4\left(\frac{7}{8}\right) = -\frac{1}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{15}{4} < 0
    সুতরাং, এই বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
    নির্ণেয় গুরুমান =sin⁡x+cos⁡2x=14+78=98= \sin x + \cos 2x = \frac{1}{4} + \frac{7}{8} = \frac{9}{8}

    অতএব, (0,π)(0, \pi) ব্যবধিতে ফাংশনটির লঘুমান 00 এবং গুরুমান 98\frac{9}{8}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x
    নির্ণেয় রাশি:
    I=∫{f(x)}3 dx+∫1−{f(x)}2ln⁡{f(x)} dxI = \int \{f(x)\}^3 \, dx + \int \sqrt{1 - \{f(x)\}^2} \ln\{f(x)\} \, dx
    =∫cos⁡3x dx+∫1−cos⁡2xln⁡(cos⁡x) dx= \int \cos^3 x \, dx + \int \sqrt{1 - \cos^2 x} \ln(\cos x) \, dx
    যেহেতু 1−cos⁡2x=sin⁡x\sqrt{1 - \cos^2 x} = \sin x,
    I=∫cos⁡3x dx+∫sin⁡xln⁡(cos⁡x) dxI = \int \cos^3 x \, dx + \int \sin x \ln(\cos x) \, dx

    প্রথম অংশ:
    I1=∫cos⁡3x dx=14∫4cos⁡3x dx=14∫(cos⁡3x+3cos⁡x) dxI_1 = \int \cos^3 x \, dx = \frac{1}{4} \int 4\cos^3 x \, dx = \frac{1}{4} \int (\cos 3x + 3\cos x) \, dx
    =14(sin⁡3x3+3sin⁡x)=sin⁡3x12+34sin⁡x= \frac{1}{4} \left( \frac{\sin 3x}{3} + 3\sin x \right) = \frac{\sin 3x}{12} + \frac{3}{4}\sin x
    (বিকল্পভাবে: ∫(1−sin⁡2x)cos⁡x dx=sin⁡x−sin⁡3x3\int (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3})

    দ্বিতীয় অংশ:
    I2=∫sin⁡xln⁡(cos⁡x) dxI_2 = \int \sin x \ln(\cos x) \, dx
    ধরি, u=cos⁡x  ⟹  du=−sin⁡x dx  ⟹  sin⁡x dx=−duu = \cos x \implies du = -\sin x \, dx \implies \sin x \, dx = -du
    I2=−∫ln⁡u du=−(uln⁡u−u)=u−uln⁡u=cos⁡x−cos⁡xln⁡(cos⁡x)I_2 = -\int \ln u \, du = - (u \ln u - u) = u - u \ln u = \cos x - \cos x \ln(\cos x)

    অতএব, সম্পূর্ণ যোগজের মান:
    I=I1+I2+C=sin⁡x−13sin⁡3x+cos⁡x−cos⁡xln⁡(cos⁡x)+CI = I_1 + I_2 + C = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x + \cos x - \cos x \ln(\cos x) + C
    (অথবা 34sin⁡x+112sin⁡3x+cos⁡x[1−ln⁡(cos⁡x)]+C\frac{3}{4}\sin x + \frac{1}{12}\sin 3x + \cos x [1 - \ln(\cos x)] + C, যেখানে CC সমাকলন ধ্রুবক)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন