উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

চিত্রে O ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র

  1. ক)

    দুইটি সমান বলের লব্ধির বর্গ বল দুইটির গুণফলের তিন গুণের সমান হলে, বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ P, Q ও R বল তিনটি সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রমাণ কর যে,Pa2(b2+c2−a2)=Qb2(a2+c2−b2)=Rc2(a2+b2−c2) \frac{P}{a^2\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\frac{Q}{b^2\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\frac{R}{c^2\left(a^2+b^2-c^2\right)}

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ Q, P ও Q বল দুইটিকে S পরিমাণে বৃদ্ধি করলে যদি লব্ধি C বিন্দু হতে D বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়, তবে দেখাও যে, CD=SP−QAB\mathrm{CD}=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \mathrm{AB}.

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, সমান বল দুইটির প্রতিটির মান F এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ α।
    লব্ধি R হলে, R² = F² + F² + 2·F·F·cos α = 2F²(1 + cos α)
    শর্তানুসারে, R² = 3(F · F) = 3F²
    ∴ 2F²(1 + cos α) = 3F²
    ⇒ 1 + cos α = 3/2
    ⇒ cos α = 1/2 = cos 60°
    ∴ α = 60° বা π/3।
    অতএব, বল দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O-তে P, Q, R বলত্রয় যথাক্রমে OA, OB, OC বরাবর ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হওয়ায়,
    ∠BOC = 2A, ∠COA = 2B, ∠AOB = 2C

    O বিন্দুতে লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    P / sin 2A = Q / sin 2B = R / sin 2C ... (১)

    ত্রিভুজের সাইন ও কোসাইন সূত্রানুসারে,
    sin 2A = 2 sin A cos A = 2 · (a / 2R') · [(b² + c² - a²) / (2bc)] = a²(b² + c² - a²) / (2R'abc)
    অনুরূপভাবে,
    sin 2B = b²(a² + c² - b²) / (2R'abc)
    sin 2C = c²(a² + b² - c²) / (2R'abc)

    (১) নং সমীকরণে মানগুলো বসিয়ে হর থেকে 2R'abc অপসারণ করে পাই,
    P / [a²(b² + c² - a²)] = Q / [b²(a² + c² - b²)] = R / [c²(a² + b² - c²)] (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে P ও Q মানের অসদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়াশীল (P > Q) এবং লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
    সমান্তরাল বলের শর্তানুসারে,
    P · CA = Q · CB = Q · (CA + AB)
    ⇒ (P - Q) CA = Q · AB
    ∴ CA = [Q / (P - Q)] AB ... (১)

    বল দুইটি S পরিমাণ বৃদ্ধি পেলে নতুন লব্ধি D বিন্দুতে ক্রিয়া করে:
    (P + S) · DA = (Q + S) · DB = (Q + S) · (DA + AB)
    ⇒ (P - Q) DA = (Q + S) · AB
    ∴ DA = [(Q + S) / (P - Q)] AB ... (২)

    চিত্রানুযায়ী,
    CD = DA - CA = [(Q + S) / (P - Q)] AB - [Q / (P - Q)] AB
    ∴ CD = [S / (P - Q)] AB (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন