উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

চিত্রে, α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi

  1. ক)

    প্রমাণ কর: sin⁡75∘+sin⁡15∘sin⁡75∘−sin⁡15∘=3\frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ} = \sqrt{3}

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর: sin⁡2α−sin⁡2β+sin⁡2γ=2sin⁡αcos⁡βsin⁡γ\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma

    (4)
  3. গ)

    cos⁡P=sin⁡Q−cos⁡R\cos P = \sin Q - \cos R হলে দেখাও যে, PQR ত্রিভুজটি সমকোণী।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ = sin⁡75∘+sin⁡15∘sin⁡75∘−sin⁡15∘\frac{\sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{\sin 75^\circ - \sin 15^\circ}

    আমরা জানি,
    sin⁡C+sin⁡D=2sin⁡(C+D2)cos⁡(C−D2)\sin C + \sin D = 2\sin\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)
    এবং sin⁡C−sin⁡D=2cos⁡(C+D2)sin⁡(C−D2)\sin C - \sin D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\sin\left(\frac{C-D}{2}\right)

    অতএব,
    বামপক্ষ = 2sin⁡(75∘+15∘2)cos⁡(75∘−15∘2)2cos⁡(75∘+15∘2)sin⁡(75∘−15∘2)\frac{2\sin\left(\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{75^\circ-15^\circ}{2}\right)}{2\cos\left(\frac{75^\circ+15^\circ}{2}\right)\sin\left(\frac{75^\circ-15^\circ}{2}\right)}

    =sin⁡45∘cos⁡30∘cos⁡45∘sin⁡30∘= \frac{\sin 45^\circ \cos 30^\circ}{\cos 45^\circ \sin 30^\circ}

    =12⋅3212⋅12=322122=3== \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \sqrt{3} = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, α+β+γ=π\alpha + \beta + \gamma = \pi
    বা, α+γ=π−β\alpha + \gamma = \pi - \beta

    বামপক্ষ = sin⁡2α−sin⁡2β+sin⁡2γ\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma
    =sin⁡2α+sin⁡2γ−sin⁡2β= \sin^2 \alpha + \sin^2 \gamma - \sin^2 \beta
    =sin⁡2α+(sin⁡2γ−sin⁡2β)= \sin^2 \alpha + (\sin^2 \gamma - \sin^2 \beta)
    =sin⁡2α+sin⁡(γ+β)sin⁡(γ−β)= \sin^2 \alpha + \sin(\gamma + \beta)\sin(\gamma - \beta)

    যেহেতু β+γ=π−α\beta + \gamma = \pi - \alpha, সুতরাং sin⁡(β+γ)=sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\beta + \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha

    =sin⁡2α+sin⁡αsin⁡(γ−β)= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \sin(\gamma - \beta)
    =sin⁡α[sin⁡α+sin⁡(γ−β)]= \sin \alpha [\sin \alpha + \sin(\gamma - \beta)]
    =sin⁡α[sin⁡(π−(β+γ))+sin⁡(γ−β)]= \sin \alpha [\sin(\pi - (\beta + \gamma)) + \sin(\gamma - \beta)]
    =sin⁡α[sin⁡(β+γ)−sin⁡(β−γ)]= \sin \alpha [\sin(\beta + \gamma) - \sin(\beta - \gamma)]
    =sin⁡α[2cos⁡βsin⁡γ]= \sin \alpha [2\cos \beta \sin \gamma]
    =2sin⁡αcos⁡βsin⁡γ== 2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্রানুযায়ী, P=αP = \alpha, Q=βQ = \beta, R=γR = \gamma এবং P+Q+R=πP + Q + R = \pi

    দেওয়া আছে,
    cos⁡P=sin⁡Q−cos⁡R\cos P = \sin Q - \cos R
    বা, cos⁡P+cos⁡R=sin⁡Q\cos P + \cos R = \sin Q
    বা, 2cos⁡(P+R2)cos⁡(P−R2)=2sin⁡(Q2)cos⁡(Q2)2\cos\left(\frac{P+R}{2}\right)\cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{Q}{2}\right)\cos\left(\frac{Q}{2}\right)

    যেহেতু P+Q+R=π  ⟹  P+R2=π2−Q2P + Q + R = \pi \implies \frac{P+R}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}
    অতএব, cos⁡(P+R2)=cos⁡(π2−Q2)=sin⁡(Q2)\cos\left(\frac{P+R}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}\right) = \sin\left(\frac{Q}{2}\right)

    মান বসিয়ে পাই,
    2sin⁡(Q2)cos⁡(P−R2)=2sin⁡(Q2)cos⁡(Q2)2\sin\left(\frac{Q}{2}\right)\cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{Q}{2}\right)\cos\left(\frac{Q}{2}\right)

    যেহেতু ত্রিভুজের কোণ Q>0Q > 0, তাই sin⁡(Q2)≠0\sin\left(\frac{Q}{2}\right) \neq 0। উভয়পক্ষকে 2sin⁡(Q2)2\sin\left(\frac{Q}{2}\right) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    cos⁡(P−R2)=cos⁡(Q2)\cos\left(\frac{P-R}{2}\right) = \cos\left(\frac{Q}{2}\right)
    বা, P−R2=Q2\frac{P-R}{2} = \frac{Q}{2} অথবা P−R2=−Q2\frac{P-R}{2} = -\frac{Q}{2}

    ১ম ক্ষেত্রে:
    P−R=Q  ⟹  P=Q+RP - R = Q \implies P = Q + R
    আমরা জানি, P+Q+R=πP + Q + R = \pi
    বা, P+P=πP + P = \pi
    বা, 2P=π  ⟹  P=π2=90∘2P = \pi \implies P = \frac{\pi}{2} = 90^\circ

    ২য় ক্ষেত্রে:
    P−R=−Q  ⟹  P+Q=RP - R = -Q \implies P + Q = R
    আমরা জানি, P+Q+R=πP + Q + R = \pi
    বা, R+R=πR + R = \pi
    বা, 2R=π  ⟹  R=π2=90∘2R = \pi \implies R = \frac{\pi}{2} = 90^\circ

    উভয়ক্ষেত্রেই, ত্রিভুজটির একটি কোণ এক সমকোণ (90∘90^\circ)।
    সুতরাং, PQRPQR ত্রিভুজটি সমকোণী। (দেখানো হলো)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন