উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   নিক্ষেপণ বেগ, $u = 15\text{ m/s}$
   নিক্ষেপণ কোণ, $\alpha = 30^{\circ}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m/s}^2$

   আমরা জানি, ভ্রমণকাল (Time of flight),
   $T = \frac{2u \sin\alpha}{g}$
   $\Rightarrow T = \frac{2 \times 15 \times \sin 30^{\circ}}{9.8}$
   $\Rightarrow T = \frac{30 \times 0.5}{9.8} = \frac{15}{9.8} \approx 1.53\text{ sec}$

   উত্তর: ভ্রমণকাল $1.53\text{ sec}$ (বা $\frac{75}{49}\text{ sec}$)।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, টাওয়ারটির উচ্চতা $h$ মিটার।
   প্রথম পাথরটি চূড়া থেকে স্থির অবস্থা ($u=0$) হতে নিচে পড়ে।
   $2\text{ m}$ নিচে নামতে পাথরটির প্রয়োজনীয় সময় $t_1$ হলে,
   $2 = \frac{1}{2}gt_1^2 \implies t_1^2 = \frac{4}{g} \implies t_1 = \frac{2}{\sqrt{g}}$

   প্রথম পাথরটি মোট $h$ দূরত্ব অতিক্রম করে ভূমিতে পৌঁছাতে সময় নেয় $T_1$:
   $h = \frac{1}{2}gT_1^2 \implies T_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

   দ্বিতীয় পাথরটি চূড়ার $8\text{ m}$ নিচ থেকে স্থির অবস্থা হতে ফেলা হয়।
   অতএব, দ্বিতীয় পাথরের অতিক্রান্ত দূরত্ব $= h - 8$ মিটার।
   দ্বিতীয় পাথরটির ভূমিতে পড়তে সময় লাগে $T_2$ হলে,
   $h - 8 = \frac{1}{2}gT_2^2 \implies T_2 = \sqrt{\frac{2(h-8)}{g}}$

   প্রশ্নমতে, প্রথম পাথরটি $2\text{ m}$ নামার পর দ্বিতীয় পাথরটি ফেলা হয় এবং উভয় পাথর একই সাথে ভূমিতে পতিত হয়।
   অতএব,
   $T_1 - t_1 = T_2$
   $\Rightarrow \sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{2}{\sqrt{g}} = \sqrt{\frac{2(h-8)}{g}}$
   উভয়পক্ষকে $\sqrt{\frac{g}{2}}$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $\sqrt{h} - \sqrt{2} = \sqrt{h-8}$
   উভয়পক্ষ বর্গ করে পাই,
   $(\sqrt{h} - \sqrt{2})^2 = h - 8$
   $\Rightarrow h - 2\sqrt{2h} + 2 = h - 8$
   $\Rightarrow -2\sqrt{2h} = -10$
   $\Rightarrow \sqrt{2h} = 5$
   উভয়পক্ষ পুনরায় বর্গ করে পাই,
   $2h = 25$
   $\Rightarrow h = 12.5\text{ m}$

   উত্তর: টাওয়ারের উচ্চতা $12.5\text{ m}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   একই বেগে এবং একই আনুভূমিক পাল্লার ($R$) জন্য দুইটি সম্ভাব্য প্রক্ষেপণ কোণ হলো $\alpha$ এবং $90^{\circ} - \alpha$।
   ধরি, বস্তুটিকে $u$ বেগে নিক্ষেপ করা হয়েছে।
   প্রথম ক্ষেত্রে महत्তম উচ্চতা,
   $h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 8\text{ m}$
   দ্বিতীয় ক্ষেত্রে মহত্তম উচ্চতা,
   $h_2 = \frac{u^2 \sin^2 (90^{\circ}-\alpha)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g} = 10\text{ m}$

   অতএব,
   $h_1 \times h_2 = \frac{u^4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{4g^2} = \frac{(u^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha)^2}{16g^2} = \frac{(u^2 \sin 2\alpha)^2}{16g^2}$

   আমরা জানি, আনুভূমিক পাল্লা $R = \frac{u^2 \sin 2\alpha}{g}$
   অতএব,
   $h_1 h_2 = \frac{R^2}{16}$
   $\Rightarrow R^2 = 16 h_1 h_2$
   দেওয়া আছে, $h_1 = 8\text{ m}$ এবং $h_2 = 10\text{ m}$।
   $\Rightarrow R^2 = 16 \times 8 \times 10 = 16 \times 80 = 1280$
   $\Rightarrow R = \sqrt{16 \times 16 \times 5} = 16\sqrt{5}\text{ m}$
   (দেখানো হলো)