উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $h(x) = \tan x$
   ধরি, $I = \int \frac{h'(x)}{\{1 + h(x)\}^2} dx$

   ধরি, $1 + h(x) = z$
   উভয়পক্ষে ব্যবকলন করে পাই,
   $h'(x) dx = dz$

   সুতরাং,
   $I = \int \frac{dz}{z^2} = \int z^{-2} dz = -\frac{1}{z} + c$
   $= -\frac{1}{1 + h(x)} + c = -\frac{1}{1 + \tan x} + c$, যেখানে $c$ একটি সমাকলন ধ্রুবক।

   উত্তর: $-\frac{1}{1 + \tan x} + c$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{30h'(x) dx}{[\{h(x)\}^2 - 9]\{h(x) - 2\}}$
   যেহেতু $h(x) = \tan x$, সুতরাং $h'(x) = \sec^2 x$
   ধরি, $z = h(x) = \tan x$
   $\therefore dz = h'(x) dx$

   সীমা পরিবর্তন:
   যখন $x = 0$, $z = \tan 0 = 0$
   যখন $x = \frac{\pi}{4}$, $z = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

   সুতরাং, $I = \int_{0}^{1} \frac{30 dz}{(z^2 - 9)(z - 2)} = \int_{0}^{1} \frac{30 dz}{(z - 3)(z + 3)(z - 2)}$

   আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:
   $\frac{30}{(z - 3)(z + 3)(z - 2)} = \frac{A}{z - 3} + \frac{B}{z + 3} + \frac{C}{z - 2}$
   $30 = A(z+3)(z-2) + B(z-3)(z-2) + C(z-3)(z+3)$
   $z = 3$ বসিয়ে, $30 = A(6)(1) \implies A = 5$
   $z = -3$ বসিয়ে, $30 = B(-6)(-5) \implies B = 1$
   $z = 2$ বসিয়ে, $30 = C(-1)(5) \implies C = -6$

   অতএব,
   $I = \int_{0}^{1} \left( \frac{5}{z - 3} + \frac{1}{z + 3} - \frac{6}{z - 2} \right) dz$
   $= \left[ 5 \ln|z - 3| + \ln|z + 3| - 6 \ln|z - 2| \right]_{0}^{1}$
   $= \left[ 5 \ln|-2| + \ln|4| - 6 \ln|-1| \right] - \left[ 5 \ln|-3| + \ln|3| - 6 \ln|-2| \right]$
   $= (5 \ln 2 + 2 \ln 2 - 0) - (5 \ln 3 + \ln 3 - 6 \ln 2)$
   $= 7 \ln 2 - 6 \ln 3 + 6 \ln 2$
   $= 13 \ln 2 - 6 \ln 3 = \ln\left(\frac{2^{13}}{3^6}\right) = \ln\left(\frac{8192}{729}\right)$

   উত্তর: $13 \ln 2 - 6 \ln 3$ বা $\ln\left(\frac{8192}{729}\right)$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x, y) = 4x^2 + 9y^2$
   $\therefore f(x, y) = 36 \implies 4x^2 + 9y^2 = 36$
   উভয়পক্ষকে 36 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$
   এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র $(0,0)$ এবং এটি উভয় অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম।
   এখানে, $y^2 = 4\left(1 - \frac{x^2}{9}\right) = \frac{4}{9}(9 - x^2)$
   প্রথম চতুর্ভাগে, $y = \frac{2}{3} \sqrt{9 - x^2}$

   অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল:
   $A = 4 \times \int_{0}^{3} y \, dx = 4 \times \frac{2}{3} \int_{0}^{3} \sqrt{3^2 - x^2} \, dx$
   $= \frac{8}{3} \left[ \frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{0}^{3}$
   $= \frac{8}{3} \left[ \left(0 + \frac{9}{2} \sin^{-1}(1)\right) - (0 + 0) \right]$
   $= \frac{8}{3} \times \frac{9}{2} \times \frac{\pi}{2} = 6\pi$ বর্গ একক।

   উত্তর: $6\pi$ বর্গ একক।