△ABC triangle ABC এ AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্র…

গণিত • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

△ABC \triangle \mathrm{ABC} ~ এ AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R.

ক)
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 12π 12 \pi বর্গ সে.মি. হলে, এর ব্যাস নির্ণয় কর।
(1)
খ)
প্রমাণ কর যে, PQ∥BC P Q | B C এবং PQ=12BC P Q=\frac{1}{2} B C .
(2)
গ)
প্রমাণ কর যে, AB+AC>2AR AB + AC>2AR.
(3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ । ক্ষেত্রফল $=\pi r^2=12\pi$

বা, $r^2=12$

বা, $r=\sqrt{12}=2\sqrt3$

ব্যাস $=2r=2\times2\sqrt3=4\sqrt3$

উত্তর: $4\sqrt3$ সে.মি. (প্রায় $6.93$ সে.মি.)
খ)
বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ -এর $AB$ ও $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$ । প্রমাণ করতে হবে, $PQ\parallel BC$ এবং $PQ=\dfrac12BC$ ।

অঙ্কন: $PQ$ কে $X$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $QX=PQ$ হয়। $C,X$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle APQ$ ও $\triangle CQX$ -এ $AQ=CQ$ ( $Q$ মধ্যবিন্দু), $PQ=QX$ (অঙ্কন) এবং $\angle AQP=\angle CQX$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

$\therefore\triangle APQ\cong\triangle CQX$ , অতএব $AP=CX$ এবং $\angle APQ=\angle CXQ$ ।

$\angle APQ=\angle CXQ$ একান্তর কোণ, তাই $AB\parallel CX$ । $AP=PB$ বলে $PB=CX$ ।

সুতরাং $PBCX$ চতুর্ভুজের $PB$ ও $CX$ সমান ও সমান্তরাল, অতএব এটি সামান্তরিক। তাই $PX\parallel BC$ এবং $PX=BC$ ।

$\therefore PQ\parallel BC$ এবং $PQ=\dfrac12PX=\dfrac12BC$ । (প্রমাণিত)
গ)
বিশেষ নির্বচন: $\triangle ABC$ -এর $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $R$ । প্রমাণ করতে হবে, $AB+AC>2AR$ ।

অঙ্কন: $AR$ কে $X$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $RX=AR$ হয়। $C,X$ যোগ করি।

প্রমাণ: $\triangle ABR$ ও $\triangle XCR$ -এ $BR=CR$ ( $R$ মধ্যবিন্দু), $AR=XR$ (অঙ্কন) এবং $\angle ARB=\angle XRC$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

$\therefore\triangle ABR\cong\triangle XCR$ , অতএব $AB=CX$ ।

$\triangle ACX$ -এ $AC+CX>AX$ (দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

বা, $AC+AB>2AR$ [ $CX=AB$ , $AX=2AR$ ]

$\therefore AB+AC>2AR$ । (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

সম্পর্কিত প্রশ্ন