∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=\int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = কত?

Question

∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dx=\int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx = কত?

Accepted Answer

ক. π2\frac{\pi}{2}

ব্যাখ্যা: ধরি, $u = \cos x$।
তাহলে, $du = -\sin x \, dx \implies \sin x \, dx = -du$।

সীমা পরিবর্তন:
$x = 0$ হলে $u = \cos 0 = 1$
$x = \pi$ হলে $u = \cos \pi = -1$

অতএব,
$I = \int_1^{-1} \frac{-du}{1 + u^2} = \int_{-1}^1 \frac{du}{1 + u^2}$
$= [	an^{-1}(u)]_{-1}^1 = 	an^{-1}(1) - 	an^{-1}(-1)$
$= \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}ight) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$।

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন