পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ভেক্টরের মান এক একক, তাকে একক ভেক্টর বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ডাইভারজেন্স হলো ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ($\vec{\nabla}$) এবং কোনো ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{V}$-এর ডট বা স্কেলার গুণফল, অর্থাৎ $\text{div}\vec{V} = \vec{\nabla} \cdot \vec{V}$। দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের ফলাফল সর্বদা একটি স্কেলার বা অধিক রাশি হয়। ডাইভারজেন্স কোনো বিন্দু থেকে একক আয়তনে কোনো প্রবাহীর নির্গমন বা আগমনের হার নির্দেশ করে, যার কেবল একটি সাংখ্যিক মান থাকে এবং কোনো নির্দিষ্ট দিক থাকে না। তাই ডাইভারজেন্স একটি অধিক (স্কেলার) রাশি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্ক:
   $P(4, -2, 3)$, $Q(-2, 4, 5)$ এবং $R(-1, 2, -2)$

   প্রদত্ত বিন্দুর সাপেক্ষে ভেক্টরসমূহ:
   $\vec{PQ} = (-2 - 4)\hat{i} + (4 - (-2))\hat{j} + (5 - 3)\hat{k} = -6\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$
   $\vec{QR} = (-1 - (-2))\hat{i} + (2 - 4)\hat{j} + (-2 - 5)\hat{k} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 7\hat{k}$

   এখন, $\vec{PQ} \times \vec{QR}$ নির্ণয় করি:
   $\vec{PQ} \times \vec{QR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 6 & 2 \\ 1 & -2 & -7 \end{vmatrix}$
   $= \hat{i}[6(-7) - 2(-2)] - \hat{j}[(-6)(-7) - 2(1)] + \hat{k}[(-6)(-2) - 6(1)]$
   $= \hat{i}[-42 + 4] - \hat{j}[42 - 2] + \hat{k}[12 - 6]$
   $= -38\hat{i} - 40\hat{j} + 6\hat{k}$

   এর মান:
   $|\vec{PQ} \times \vec{QR}| = \sqrt{(-38)^2 + (-40)^2 + 6^2} = \sqrt{1444 + 1600 + 36} = \sqrt{3080} = 2\sqrt{770} \approx 55.497$

   অতএব, $\vec{PQ} \times \vec{QR}$ এর সমান্তরাল একক ভেক্টর:
   $\hat{\eta} = \pm \frac{\vec{PQ} \times \vec{QR}}{|\vec{PQ} \times \vec{QR}|} = \pm \frac{-38\hat{i} - 40\hat{j} + 6\hat{k}}{\sqrt{3080}} = \pm \frac{-19\hat{i} - 20\hat{j} + 3\hat{k}}{\sqrt{770}}$

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ত্রিভুজটির শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো $P(4, -2, 3)$, $Q(-2, 4, 5)$ এবং $R(-1, 2, -2)$।

   ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
   $PQ^2 = (-2 - 4)^2 + (4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2 = (-6)^2 + 6^2 + 2^2 = 36 + 36 + 4 = 76$

   $QR^2 = (-1 - (-2))^2 + (2 - 4)^2 + (-2 - 5)^2 = 1^2 + (-2)^2 + (-7)^2 = 1 + 4 + 49 = 54$

   $PR^2 = (-1 - 4)^2 + (2 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2 = (-5)^2 + 4^2 + (-5)^2 = 25 + 16 + 25 = 66$

   এখানে বাহু তিনটির বর্গের মান হলো যথাক্রমে $76, 54$ এবং $66$।
   যেকোনো দুটি ক্ষুদ্রতর বাহুর বর্গের যোগফল:
   $QR^2 + PR^2 = 54 + 66 = 120$
   কিন্তু বৃহত্তম বাহুর বর্গ $PQ^2 = 76$।
   দেখা যাচ্ছে যে, $QR^2 + PR^2 \neq PQ^2$।

   একইভাবে:
   $PQ^2 + QR^2 = 76 + 54 = 130 \neq PR^2$ ($66$)
   $PQ^2 + PR^2 = 76 + 66 = 142 \neq QR^2$ ($54$)

   যেহেতু বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে না, তাই উদ্দীপকের বিন্দু তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে না।