উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Rajshahi Board • রাজশাহী বোর্ড ২০১৭
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
f(x)=1sinx,g(x)=1tanx,h(x)=x f(x)=\frac{1}{\sin x}, g(x)=\frac{1}{\tan x}, h(x)=x
- ক)(1)
মান নির্ণয় কর: limx→24−x23−x2+5 \lim _{x \rightarrow 2} \frac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}
- খ)(2)
মূল নিয়মে x এর সাপেক্ষে f(x)g(x) \frac{f(x)}{g(x)} এর অন্তরজ নির্ণয় কর।
- গ)(3)
দেখাও যে, h(x)+1 h(x) \mathrm{h}(\mathrm{x})+\frac{1}{\mathrm{~h}(\mathrm{x})} এর গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,
lim_{x → 2} (4 - x²) / (3 - √(x² + 5))
লব ও হরকে (3 + √(x² + 5)) দ্বারা গুণ করে পাই:
= lim_{x → 2} [(4 - x²)(3 + √(x² + 5))] / [3² - (√(x² + 5))²]
= lim_{x → 2} [(4 - x²)(3 + √(x² + 5))] / [9 - (x² + 5)]
= lim_{x → 2} [(4 - x²)(3 + √(x² + 5))] / (4 - x²)
= lim_{x → 2} (3 + √(x² + 5))
= 3 + √(2² + 5) = 3 + √9 = 3 + 3 = 6। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, f(x) = 1/sin x এবং g(x) = 1/tan x।
সুতরাং, f(x)/g(x) = (1/sin x) / (1/tan x) = (tan x) / (sin x) = (sin x / cos x) / sin x = 1/cos x = sec x।ধরি, F(x) = sec x
তাহলে, F(x + h) = sec(x + h)মূল নিয়মের সংজ্ঞানুযায়ী,
d/dx [F(x)] = lim_{h → 0} [F(x + h) - F(x)] / h
= lim_{h → 0} [sec(x + h) - sec x] / h
= lim_{h → 0} [1/cos(x + h) - 1/cos x] / h
= lim_{h → 0} [cos x - cos(x + h)] / [h cos(x + h) cos x]
= lim_{h → 0} [2 sin(x + h/2) sin(h/2)] / [h cos(x + h) cos x]
= lim_{h → 0} [sin(h/2) / (h/2)] * lim_{h → 0} [sin(x + h/2) / (cos(x + h) cos x)]
= 1 * [sin x / (cos x * cos x)]
= (1/cos x) * (sin x / cos x)
= sec x tan x। - গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
ধরি, y = h(x) + 1/h(x) = x + 1/x
x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
dy/dx = 1 - 1/x²
d²y/dx² = 2/x³চরম মানের (গুরুমান বা লঘুমান) জন্য dy/dx = 0:
1 - 1/x² = 0
=> x² = 1
=> x = ±1যখন x = 1:
d²y/dx² = 2/(1)³ = 2 > 0
অতএব, x = 1 বিন্দুতে ফাংশনটির লঘুমান বিদ্যমান।
লঘুমান = 1 + 1/1 = 2।যখন x = -1:
d²y/dx² = 2/(-1)³ = -2 < 0
অতএব, x = -1 বিন্দুতে ফাংশনটির গুরুমান বিদ্যমান।
গুরুমান = -1 + 1/(-1) = -2।যেহেতু -2 < 2, তাই ফাংশনটির গুরুমান তার লঘুমান অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। (দেখানো হলো)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও