উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   পাথরটিকে আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করায় উলম্ব দিকে তার আদিবেগ $u_y = 0$।
   উলম্ব উচ্চতা, $h = 490\text{ m}$
   অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ ms}^{-2}$
   মাটিতে পৌঁছানোর সময় $t$ হলে,
   $h = u_y t + \frac{1}{2}gt^2$
   বা, $490 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
   বা, $4.9 t^2 = 490$
   বা, $t^2 = 100$
   বা, $t = 10\text{ s}$
   অতএব, পাথরটি মাটিতে পৌঁছাতে $10$ সেকেন্ড সময় নেবে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, টাওয়ারের মোট উচ্চতা $h$ এবং পাথরটি অবাধে পড়ে ভূমি স্পর্শ করতে মোট $t$ সেকেন্ড সময় নেয়।
   পাথরটির আদিবেগ $u = 0$।
   সুতরাং, $t$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $h = \frac{1}{2}gt^2$ ... (১)

   $t$-তম সেকেন্ডে (গতির শেষতম সেকেন্ডে) অতিক্রান্ত দূরত্ব,
   $s_t = u + \frac{1}{2}g(2t - 1) = \frac{1}{2}g(2t - 1)$

   শর্তানুসারে,
   $s_t = \frac{5}{9}h$
   বা, $\frac{1}{2}g(2t - 1) = \frac{5}{9}\left(\frac{1}{2}gt^2\right)$
   বা, $2t - 1 = \frac{5}{9}t^2$
   বা, $5t^2 - 18t + 9 = 0$
   বা, $5t^2 - 15t - 3t + 9 = 0$
   বা, $5t(t - 3) - 3(t - 3) = 0$
   বা, $(t - 3)(5t - 3) = 0$
   অতএব, $t = 3$ অথবা $t = 3/5 = 0.6$
   যেহেতু শেষতম সেকেন্ডটি কমপক্ষে ১ সেকেন্ড হতে হবে, তাই $t > 1$। অতএব, $t = 0.6$ গ্রহণযোগ্য নয়।
   সুতরাং, $t = 3\text{ s}$।

   (১) নং সমীকরণে $t$-এর মান বসিয়ে পাই,
   $h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2 = 4.9 \times 9 = 44.1\text{ m}$
   অতএব, টাওয়ারের উচ্চতা $44.1$ মিটার।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য প্রথম ট্রেনের মন্দন $a$ প্রয়োগের পর থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_1$ এবং দ্বিতীয় ট্রেনের মন্দন $b$ প্রয়োগের পর থামার আগে অতিক্রান্ত দূরত্ব $s_2$।

   প্রথম ট্রেনের ক্ষেত্রে আদিবেগ $u$, শেষবেগ $0$ এবং ত্বরণ $-a$:
   $0^2 = u^2 - 2as_1$
   বা, $s_1 = \frac{u^2}{2a}$

   দ্বিতীয় ট্রেনের ক্ষেত্রে আদিবেগ $v$, শেষবেগ $0$ এবং ত্বরণ $-b$:
   $0^2 = v^2 - 2bs_2$
   বা, $s_2 = \frac{v^2}{2b}$

   ট্রেন দুইটির মধ্যে কোনো রকমে সংঘর্ষ এড়াতে হলে তাদের মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান হতে হবে, অর্থাৎ:
   $s_1 + s_2 = d$
   বা, $\frac{u^2}{2a} + \frac{v^2}{2b} = d$
   বা, $\frac{u^2 b + v^2 a}{2ab} = d$
   বা, $u^2 b + v^2 a = 2abd$ (প্রমাণিত)।