উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, প্রদত্ত বিন্দুটি কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে $(x, y) = (-2, -\sqrt{2})$।
   পোলার স্থানাঙ্ক $(r, \theta)$ হলে,
   $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}$

   যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
   (বা ধনাত্মক কোণ বিবেচনা করলে, $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$)

   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক $\left(\sqrt{6}, -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ অথবা $\left(\sqrt{6}, \pi + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A(a, -1)$ এবং $B(0, -2)$।
   $AB$ এর মধ্যবিন্দুর ভুজ $= \frac{a + 0}{2} = \frac{a}{2}$
   প্রশ্নমতে, $\frac{a}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \implies a = \sqrt{5}$
   অতএব, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\sqrt{5}, -1)$।

   $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{-2 - (-1)}{0 - \sqrt{5}} = \frac{-1}{-\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

   $AB$ রেখার ওপর লম্ব রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\sqrt{5}$

   অতএব, $C(-2, -4)$ বিন্দুগামী এবং $AB$ এর ওপর লম্ব রেখার সমীকরণ:
   $y - (-4) = m_2(x - (-2))$
   $\implies y + 4 = -\sqrt{5}(x + 2)$
   $\implies y + 4 = -\sqrt{5}x - 2\sqrt{5}$
   $\implies \sqrt{5}x + y + 4 + 2\sqrt{5} = 0$ (Ans.)

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকে প্রদত্ত বিন্দুগুলো $A(a, -1)$, $B(0, -2)$ এবং $C(-2, -4)$।
   $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল:
   $\Delta = \frac{1}{2} |a(-2 - (-4)) + 0(-4 - (-1)) + (-2)(-1 - (-2))|$
   $= \frac{1}{2} |a(2) + 0 - 2(1)| = \frac{1}{2} |2a - 2| = |a - 1|$

   প্রশ্নমতে, $\Delta = 1$
   $\implies |a - 1| = 1$
   $\implies a - 1 = \pm 1$
   সুতরাং, $a - 1 = 1 \implies a = 2$
   অথবা $a - 1 = -1 \implies a = 0$

   কিন্তু $a = 0$ হলে $A$ ও $B$ উভয় বিন্দুর ভুজ $0$ হয়ে যায় এবং বিন্দুগুলো সমরেখ হয়ে ক্ষেত্রফল শূন্য হয় (অথবা $A(0,-1)$ ও $B(0,-2)$ বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{1}{2}|0-2|=1$ হতে পারে)।

   ক্ষেত্র ১: $a = 2$ হলে, $A(2, -1)$।
   বৃত্তের কেন্দ্র $C(-2, -4)$ এবং বৃত্তটি $A(2, -1)$ বিন্দুগামী।
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = CA = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
   বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - (-2))^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$
   $\implies (x + 2)^2 + (y + 4)^2 = 25$
   $\implies x^2 + 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 25$
   $\implies x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0$

   ক্ষেত্র ২: $a = 0$ হলে, $A(0, -1)$।
   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = CA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$
   বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x + 2)^2 + (y + 4)^2 = (\sqrt{13})^2$
   $\implies x^2 + 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 13$
   $\implies x^2 + y^2 + 4x + 8y + 7 = 0$

   অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2 + y^2 + 4x + 8y - 5 = 0$ অথবা $x^2 + y^2 + 4x + 8y + 7 = 0$।