উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Barishal Board • বরিশাল বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: 4cos⁡3A−cos⁡θ=3cos⁡A 4 \cos ^{3} A-\cos \theta=3 \cos A দৃশ্যকল্প-২: cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C=cot⁡Acot⁡Bcot⁡C \cot A+\cot B+\cot C=\cot A \cot B \cot C .

  1. ক)

    দেখাও যে, sin⁡2(π4+θ2)−sin⁡2(π4−θ2)=sin⁡θ \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2}\right)=\sin \theta .

    (1)
  2. খ)

    θ=60∘ \theta=60^{\circ} হলে, দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, tan⁡Atan⁡2Atan⁡3Atan⁡4A=3 \tan A \tan 2 A \tan 3 A \tan 4 A=3 .

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে দেখাও যে, cos⁡2A+cos⁡2B+sin⁡2C=1+2cos⁡Acos⁡Bsin⁡C \cos ^{2} A+\cos ^{2} B+\sin ^{2} C=1+2 \cos A \cos B \sin C .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বামপক্ষ = sin⁡2(π4+θ2)−sin⁡2(π4−θ2)\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)
    আমরা জানি, sin⁡2X−sin⁡2Y=sin⁡(X+Y)sin⁡(X−Y)\sin^2 X - \sin^2 Y = \sin(X+Y)\sin(X-Y)
    এখানে, X=π4+θ2X = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} এবং Y=π4−θ2Y = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}
    ∴X+Y=(π4+θ2)+(π4−θ2)=π2\therefore X + Y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\pi}{2}
    এবং X−Y=(π4+θ2)−(π4−θ2)=θX - Y = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = \theta
    অতএব,
    বামপক্ষ =sin⁡(π2)⋅sin⁡(θ)=1⋅sin⁡θ=sin⁡θ== \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot \sin(\theta) = 1 \cdot \sin\theta = \sin\theta = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
    4cos⁡3A−cos⁡θ=3cos⁡A4\cos^3 A - \cos\theta = 3\cos A
    ⇒4cos⁡3A−3cos⁡A=cos⁡θ\Rightarrow 4\cos^3 A - 3\cos A = \cos\theta
    ⇒cos⁡3A=cos⁡θ\Rightarrow \cos 3A = \cos\theta
    দেওয়া আছে, θ=60∘\theta = 60^\circ
    ∴cos⁡3A=cos⁡60∘=12\therefore \cos 3A = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
    ⇒3A=60∘⇒A=20∘\Rightarrow 3A = 60^\circ \Rightarrow A = 20^\circ

    এখন,
    বামপক্ষ =tan⁡Atan⁡2Atan⁡3Atan⁡4A= \tan A \tan 2A \tan 3A \tan 4A
    =tan⁡20∘tan⁡40∘tan⁡60∘tan⁡80∘= \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ
    =tan⁡60∘⋅(tan⁡20∘tan⁡40∘tan⁡80∘)= \tan 60^\circ \cdot (\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ)
    =3⋅tan⁡20∘tan⁡(60∘−20∘)tan⁡(60∘+20∘)= \sqrt{3} \cdot \tan 20^\circ \tan(60^\circ - 20^\circ) \tan(60^\circ + 20^\circ)

    আমরা জানি, tan⁡αtan⁡(60∘−α)tan⁡(60∘+α)=tan⁡3α\tan\alpha \tan(60^\circ - \alpha) \tan(60^\circ + \alpha) = \tan 3\alpha
    এখানে α=20∘\alpha = 20^\circ হলে,
    tan⁡20∘tan⁡40∘tan⁡80∘=tan⁡(3×20∘)=tan⁡60∘=3\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}

    অতএব,
    বামপক্ষ =3×3=3== \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ থেকে পাই,
    cot⁡A+cot⁡B+cot⁡C=cot⁡Acot⁡Bcot⁡C\cot A + \cot B + \cot C = \cot A \cot B \cot C
    ⇒cot⁡A+cot⁡B=cot⁡Acot⁡Bcot⁡C−cot⁡C\Rightarrow \cot A + \cot B = \cot A \cot B \cot C - \cot C
    ⇒cot⁡A+cot⁡B=cot⁡C(cot⁡Acot⁡B−1)\Rightarrow \cot A + \cot B = \cot C (\cot A \cot B - 1)
    ⇒cot⁡Acot⁡B−1cot⁡A+cot⁡B=1cot⁡C\Rightarrow \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = \frac{1}{\cot C}
    ⇒cot⁡(A+B)=tan⁡C=cot⁡(π2−C)\Rightarrow \cot(A + B) = \tan C = \cot\left(\frac{\pi}{2} - C\right)
    ∴A+B=π2−C⇒A+B+C=π2\therefore A + B = \frac{\pi}{2} - C \Rightarrow A + B + C = \frac{\pi}{2}
    ∴A+B=π2−C\therefore A + B = \frac{\pi}{2} - C

    এখন,
    বামপক্ষ =cos⁡2A+cos⁡2B+sin⁡2C= \cos^2 A + \cos^2 B + \sin^2 C
    =12(2cos⁡2A+2cos⁡2B)+sin⁡2C= \frac{1}{2} (2\cos^2 A + 2\cos^2 B) + \sin^2 C
    =12[(1+cos⁡2A)+(1+cos⁡2B)]+sin⁡2C= \frac{1}{2} [(1 + \cos 2A) + (1 + \cos 2B)] + \sin^2 C
    =12[2+cos⁡2A+cos⁡2B]+sin⁡2C= \frac{1}{2} [2 + \cos 2A + \cos 2B] + \sin^2 C
    =1+12[2cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)]+sin⁡2C= 1 + \frac{1}{2} [2\cos(A+B)\cos(A-B)] + \sin^2 C
    =1+cos⁡(A+B)cos⁡(A−B)+sin⁡2C= 1 + \cos(A+B)\cos(A-B) + \sin^2 C

    যেহেতু A+B=π2−CA + B = \frac{\pi}{2} - C, তাই cos⁡(A+B)=cos⁡(π2−C)=sin⁡C\cos(A+B) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - C\right) = \sin C
    =1+sin⁡Ccos⁡(A−B)+sin⁡2C= 1 + \sin C \cos(A-B) + \sin^2 C
    =1+sin⁡C[cos⁡(A−B)+sin⁡C]= 1 + \sin C [\cos(A-B) + \sin C]
    যেহেতু sin⁡C=cos⁡(A+B)\sin C = \cos(A+B), তাই
    =1+sin⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]= 1 + \sin C [\cos(A-B) + \cos(A+B)]
    =1+sin⁡C[2cos⁡Acos⁡B]= 1 + \sin C [2\cos A \cos B]
    =1+2cos⁡Acos⁡Bsin⁡C== 1 + 2\cos A \cos B \sin C = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন