গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
$z = \frac{1+2i}{1-3i}$
লব ও হরকে হর-এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $(1+3i)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$z = \frac{(1+2i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)}$
$= \frac{1 + 3i + 2i + 6i^2}{1^2 - (3i)^2}$
$= \frac{1 + 5i - 6}{1 - 9(-1)}$
$= \frac{-5 + 5i}{10} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$

এখন, $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ আকারে প্রকাশ করার জন্য,
মডুলাস, $r = |z| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

যেহেতু বাস্তব অংশ ঋণাত্মক এবং কাল্পনিক অংশ ধনাত্মক, তাই জটিল সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
অতএব, আর্গুমেন্ট,
$\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}}\right| = \pi - \tan^{-1}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

অতএব, নির্ণেয় পোলার আকার:
$z = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$