উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Cumilla Board • কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: z=rcos⁡θ+irsin⁡θz=r \cos \theta+i r \sin \theta

  1. ক)

    (1−i)−2−(1+i)−2(1-i)^{-2}-(1+i)^{-2} এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্পে θ=45∘\theta=45^{\circ} ও r=1\mathrm{r}=1 হলে, z8+z6+z4+z2+1z^8+z^6+z^4+z^2+1 এর মান নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প হতে প্রমাণ কর যে, Arg⁡(z2)=2Arg⁡(z)\operatorname{Arg}\left(z^2\right)=2 \operatorname{Arg}(z).

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত রাশি:
    (1−i)−2−(1+i)−2(1-i)^{-2} - (1+i)^{-2}
    =1(1−i)2−1(1+i)2= \frac{1}{(1-i)^2} - \frac{1}{(1+i)^2}
    =(1+i)2−(1−i)2[(1−i)(1+i)]2= \frac{(1+i)^2 - (1-i)^2}{[(1-i)(1+i)]^2}
    =4⋅1⋅i(1−i2)2= \frac{4 \cdot 1 \cdot i}{(1 - i^2)^2}
    =4i(1−(−1))2=4i22=4i4=i= \frac{4i}{(1 - (-1))^2} = \frac{4i}{2^2} = \frac{4i}{4} = i

    অতএব, নির্ণেয় মান ii।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে,
    z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

    দেওয়া আছে, r=1r = 1 এবং θ=45∘\theta = 45^\circ
    ∴z=cos⁡45∘+isin⁡45∘\therefore z = \cos 45^\circ + i\sin 45^\circ

    সুতরাং,
    z2=(cos⁡45∘+isin⁡45∘)2=cos⁡90∘+isin⁡90∘=0+i=iz^2 = (\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)^2 = \cos 90^\circ + i\sin 90^\circ = 0 + i = i
    z4=(z2)2=i2=−1z^4 = (z^2)^2 = i^2 = -1
    z6=z4⋅z2=(−1)⋅i=−iz^6 = z^4 \cdot z^2 = (-1) \cdot i = -i
    z8=(z4)2=(−1)2=1z^8 = (z^4)^2 = (-1)^2 = 1

    প্রদত্ত রাশি:
    z8+z6+z4+z2+1z^8 + z^6 + z^4 + z^2 + 1
    =1+(−i)+(−1)+i+1= 1 + (-i) + (-1) + i + 1
    =1= 1

    অতএব, নির্ণেয় মান 11।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপক হতে,
    z=rcos⁡θ+irsin⁡θ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\cos\theta + ir\sin\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta)

    সংজ্ঞানুসারে,
    Arg⁡(z)=θ\operatorname{Arg}(z) = \theta ... (i)

    এখন,
    z2=[r(cos⁡θ+isin⁡θ)]2z^2 = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^2
    =r2(cos⁡2θ+2isin⁡θcos⁡θ−sin⁡2θ)= r^2 (\cos^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta - \sin^2\theta)
    =r2[(cos⁡2θ−sin⁡2θ)+i(2sin⁡θcos⁡θ)]= r^2 [(\cos^2\theta - \sin^2\theta) + i(2\sin\theta\cos\theta)]
    =r2(cos⁡2θ+isin⁡2θ)= r^2 (\cos 2\theta + i\sin 2\theta)

    সুতরাং, z2z^2 এর পোলার আকার থেকে পাই,
    Arg⁡(z2)=2θ\operatorname{Arg}(z^2) = 2\theta

    (i) নং সমীকরণ হতে মান বসিয়ে পাই,
    Arg⁡(z2)=2Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(z^2) = 2\operatorname{Arg}(z) (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন