উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $2 - 2\sqrt{3}i$ এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
   $2 - 2\sqrt{3}i = 3 - 2\sqrt{3}i - 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i + i^2 = (\sqrt{3} - i)^2$
   অতএব, নির্ণেয় বর্গমূল $= \pm (\sqrt{3} - i)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $f(x) = x - 6$ এবং $z = p + iq$।
   তাহলে,
   $f(z+9) = (z+9) - 6 = z + 3 = (p+3) + iq$
   $f(z+3) = (z+3) - 6 = z - 3 = (p-3) + iq$

   প্রশ্নমতে,
   $|f(z+9)| - |f(z+3)| = 4$
   $\Rightarrow |(p+3) + iq| - |(p-3) + iq| = 4$
   $\Rightarrow \sqrt{(p+3)^2 + q^2} - \sqrt{(p-3)^2 + q^2} = 4$
   $\Rightarrow \sqrt{(p+3)^2 + q^2} = 4 + \sqrt{(p-3)^2 + q^2}$

   উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(p+3)^2 + q^2 = 16 + 8\sqrt{(p-3)^2 + q^2} + (p-3)^2 + q^2$
   $\Rightarrow p^2 + 6p + 9 + q^2 = 16 + 8\sqrt{(p-3)^2 + q^2} + p^2 - 6p + 9 + q^2$
   $\Rightarrow 12p - 16 = 8\sqrt{(p-3)^2 + q^2}$
   $\Rightarrow 3p - 4 = 2\sqrt{(p-3)^2 + q^2}$

   পুনরায় উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
   $(3p - 4)^2 = 4[(p-3)^2 + q^2]$
   $\Rightarrow 9p^2 - 24p + 16 = 4(p^2 - 6p + 9 + q^2)$
   $\Rightarrow 9p^2 - 24p + 16 = 4p^2 - 24p + 36 + 4q^2$
   $\Rightarrow 5p^2 - 4q^2 = 20$
   $\Rightarrow \frac{p^2}{4} - \frac{q^2}{5} = 1$

   সঞ্চারপথের সমীকরণ: $\frac{p^2}{4} - \frac{q^2}{5} = 1$ (অথবা চলক $x, y$ দ্বারা নির্দেশ করলে $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$)।
   এটি একটি অধিবৃত্ত (Hyperbola)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $p(x) = x^2 - ix - 1 = 0$
   যেহেতু মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$,
   তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের সূত্রানুসারে,
   $x = \frac{-(-i) \pm \sqrt{(-i)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{i \pm \sqrt{-1 + 4}}{2} = \frac{i \pm \sqrt{3}}{2}$

   অতএব,
   $\alpha = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\pi/6}$
   $\beta = \frac{-\sqrt{3} + i}{2} = -\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right) = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = e^{i 5\pi/6}$

   দে ময়ভরের উপপাদ্য (De Moivre's Theorem) অনুসারে,
   $\alpha^6 = \left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)^6 = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 = -1$
   $\beta^6 = \left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right)^6 = \cos 5\pi + i\sin 5\pi = -1 + 0 = -1$

   অতএব,
   $\alpha^6 + \beta^6 = (-1) + (-1) = -2$ (দেখানো হলো)।