উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, পোলার স্থানাঙ্ক (r, θ)।
   এখানে, x = 1 এবং y = -3√3।
   সুতরাং, r = √(x² + y²) = √(1² + (-3√3)²) = √(1 + 27) = √28 = 2√7।
   যেহেতু বিন্দুটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত,
   θ = -tan⁻¹(|y/x|) = -tan⁻¹(3√3/1) = -tan⁻¹(3√3) [বা 2π - tan⁻¹(3√3)]।
   অতএব, নির্ণেয় পোলার স্থানাঙ্ক: (2√7, -tan⁻¹(3√3))।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   A(2, 4) ও B(3, 1) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ:
   (y - 4) / (4 - 1) = (x - 2) / (2 - 3)
   => (y - 4) / 3 = (x - 2) / (-1)
   => -y + 4 = 3x - 6
   => 3x + y - 10 = 0 ... (i)

   (i) নং রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ:
   x - 3y + k = 0 ... (ii)
   যেহেতু (ii) নং রেখাটি C(4, 5) বিন্দুগামী:
   4 - 3(5) + k = 0 => 4 - 15 + k = 0 => k = 11।
   সুতরাং লম্ব রেখার সমীকরণ: x - 3y + 11 = 0 ... (iii)

   এখন, (i) ও (iii) এর ছেদবিন্দুই হলো লম্বের পাদবিন্দু।
   (i) নং সমীকরণকে 3 দিয়ে গুণ করে (iii) এর সাথে যোগ করে পাই:
   9x + 3y - 30 = 0
   x - 3y + 11 = 0

   10x - 19 = 0 => x = 19/10।

   x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই:
   3(19/10) + y - 10 = 0 => y = 10 - 57/10 = 43/10।
   অতএব, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক: (19/10, 43/10)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ:
   2x - y + 2 = 0 ... (i)
   x - 2y + 3 = 0 ... (ii)

   এখানে, a₁ = 2, b₁ = -1, c₁ = 2 এবং a₂ = 1, b₂ = -2, c₂ = 3।
   a₁a₂ + b₁b₂ = (2)(1) + (-1)(-2) = 2 + 2 = 4 > 0।
   যেহেতু a₁a₂ + b₁b₂ > 0, তাই সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডকের জন্য ঋণাত্মক (-) চিহ্ন নিতে হবে।

   সুতরাং সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখণ্ডক:
   (2x - y + 2) / √(2² + (-1)²) = - (x - 2y + 3) / √(1² + (-2)²)
   => (2x - y + 2) / √5 = - (x - 2y + 3) / √5
   => 2x - y + 2 = -x + 2y - 3
   => 3x + y + 5 = 0 ... (iii)

   (iii) নং সমীকরণকে অক্ষদ্বয়ের ছেদক আকারে প্রকাশ করে পাই:
   3x + y = -5
   => x / (-5/3) + y / (-5) = 1
   রেখাটি x-অক্ষকে A'(-5/3, 0) এবং y-অক্ষকে B'(0, -5) বিন্দুতে ছেদ করে।

   অক্ষদ্বয়ের সাথে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:
   Δ = (1/2) * |(-5/3)| * |-5| = (1/2) * (5/3) * 5 = 25/6 বর্গ একক।